F. Kwadratowa
Niki: Cześć , mam problem z zadaniem z funkcji kwadratowej. Oto jego treść
Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 10, a miara kąta między tymi bokami jest równa 120
stopni . Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta ?
Proszę o pomoc
PW: a, b, c − długości boków
(1) a + b = 10 (z treści zadania)
c
2 = a
2 + b
2 − 2ab·cos120° (z tw. cosinusów)
c
2 = a
2 + b
2 − 2ab·cos(90°+30°)
c
2 = a
2 + b
2 − 2ab·(− sin30°)
c
2 = a
2 + b
2 + ab
(2) c
2 = (a+b)
2 − ab
Po podstawieniu (1) do (2) widzimy, że
(3) c
2 = 100 − ab.
Najmniejsza wartość c
2, a więc i najmniejsza wartość c będzie, gdy największa będzie wartość
odejmowanego iloczynu ab. Szukamy zatem maksimum wyrażenia
ab = a(10−a), a > 0.
Jak wiadomo (własności funkcji kwadratowej) funkcja
f(a) = −a(a−10)
osiąga maksimum dla a = 5 i maksimum to jest równe f(5) = 25. Dla ab = 25 podstawionego do (3)
otrzymamy najmniejszą wartość c
2:
c
2 = 100 − 25
c
2 = 75
a więc najmniejszą wartością c jest
√75 = 5
√3.
Odpowiedź: Najmniejszy obwód trójkąta to 10+5
√3.