dora: Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w który jedna z przyprostokątnych ma długość 2 i dla którego stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta jest najmniejszy.

PW: Niech przeciwprostokątna ma długość 2x. Jak wiadomo x jest promieniem koła opisanego. Z twierdzenia Pitagorasa liczymy: a² + b² = (2x)², skąd b² = 4x² − a², czyli po podstawieniu b² = 4x² − 4 b = √4x² − 4 = 2√x² − 1. Pole trójkąta P(x) jest zależne od x:

	ab		2·2√x2 − 1)
P(x) =		=		= 2√x2 − 1.
	2		2

Pole koła opisanego P_k(x) = πx². a więc stosunek S(x) o którym mówi zadanie jest równy

	Pk(x)		πx2
S(x) =		=		.
	P(x)		2√x2 − 1

S_min wyznaczymy jako ekstremum funkcji S na przedziale ...

prosta: a,b − przyprostokątne R− promień α−kąt ostry trójkąta

	2πR2		π		π
S(α)=		=		=
	2Rsinα*2Rcosα		2sinαcosα		sin2α

	π
funkcja osiąga wartość najmniejszą, gdy sin2α przyjmuję największą wartość , stąd α=
	4

a=2, b=2 c=2√2

PW: Wiedziałem, wiedziałem że ktoś to pokaże . Dla pytającej jest to przykład, jak bardzo rozwiązanie zadania optymalizacyjnego może zależeć od mądrego wyboru zmiennej.