granice Mycha: mam problem z rozwiazaniem kilku granic ciagu:

	lim		sin(n!)
a)		[		]
	n→∞		n√n+1

	lim		1		1		1		1
b)		(		+		+		+...+		)
	n→∞		1*2		2*3		3*4		(n−1)*n

	lim
c)		(cos1n+sin1n)1n
	n→∞

Miś: a) z twierdzenia o 3 ciągach wynika, że = 0

	1
b) Jak wusumujesz to wyjdzie ci =
	2

c) wychodzi = e

Miś: b) pomyłka − tutaj wychodzi granica = 1

Miś: Zadanie b) rozwiązuje się identycznie jak to zrobione tutaj 27717

Basia: Misiu skąd Ci się wzięło e w (c) ? Moim zdaniem to nieprawda ponieważ 0<¹_n ≤1 ⇒ 0<sin¹_n<1 0<cos¹_n<1 0 < (cos(1/n)+sin(1/n))^1/n<2^1/n→2⁰=1 wartość granicy z tego jeszcze nie wynika, ale wynika, że ta granica (jeśli istnieje) jest liczbą z przedziału (0;1) a to na pewno nie jest e

Miś: A sugerujesz że wychodzi coś innego?

Miś: Już wyjaśniam: dla nieskończenie małych ε sin ε = ε cos ε = 1

	1
lim (1 +		)1/n = e
	n

Miś: Sorry myślałem że potęgą jest n a nie 1/n

Basia: e = lim_n→+∞ (1+¹_n)ⁿ nie do potegi ¹_n

Miś: Granica powinna wyjść 1

Miś: Mea pulpa

Basia: Napisałam co sugeruję. Udowodniłam, że to musi być liczba z przedziału <0,1>. Tam mają być nawiasy <>, a nie okrągłe. "Na wyczucie" to powinno być 1, ale na razie tego nie policzyłam. I "na wyczucie" mogę się mylić.

Miś:

	1
cos		→ 1
	n

	1
sin		→ 0
	n

	1		1
cos		+ sin		→ 1
	n		n

	1		1
lim (cos		+ sin		)1/n = lim 10 = 1
	n		n

Basia: Oczywiście. Czyli miałam "nosa". Z tw.o trzech ciągach też wychodzi tylko trzeba lepiej poszacować 0 < ¹_n≤1 0=sin0 < sin¹_n≤sin1<1 1=cos0>cos¹_n≥cos1 > cos^π₃=¹₂ stąd: 0 < sin ¹_n < 1 ¹₂ < cosu{1{n} < 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ¹₂ < sin ¹_n+cos¹_n < 2 (¹₂)^1_n < (sin ¹_n+cos¹_n)^1_n < 2^1_n (¹₂)^1_n → 1 2^1_n → 1 to 1≤ lim{n→+∞} (sin ¹_n+cos¹_n)^1_n ≤1 to lim{n→+∞} (sin ¹_n+cos¹_n)^1_n = 1

Miś: OK. Teraz wszystko pasuje. Powodzenia.

Mycha: dziekuje Wam bardzo! Jestem wdzieczna