- gaba: znajdź 4 liczby tworzące ciąg arytmetyczny. ich suma wynosi 20 a suma ich odwrotności wynosi 25/24

AROB: pomagam

AROB: ciąg arytmetyczny: (x, y, z, t) x = a₁ y = a₁ + r x + y + z + t = 20

	1		1		1		1		25
z = a1 + 2r		+		+		+		=
	x		y		z		t		24

t = a₁ + 3r Po podstawieniu: a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r + a₁ + 3r = 20

	1		1		1		1		25
		+		+		+		=
	a1		a1+r		a1+2r		a1+3r		24

4a₁ + 6r = 20 /:2

	10 − 3r
2a1 + 3r = 10 ⇒ a1 =
	2

Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania. (poślę oddzielnie)

AROB: Straszne rachunki wychodzą , Spróbuję inaczej, Jeśli chcesz, to poczekaj.

AROB: Witaj Bogdanie, zerknij na to zadanie, proszę. Może znasz jakiś ciekawy sposób? Próbowałam i z definicji, i z własności ciągu, ale rachunki wychodzą zabójcze.

Bogdan: Dzień dobry AROB, już patrzę.

Bogdan: Na razie nie udało mi się znaleźć jakiegoś zgrabnego sposobu rozwiązania tego układu równań. W zadaniu polecenie brzmi: "znajdź 4 liczby tworzące ... ", żeby coś znaleźć, to trzeba szukać. Szukałem, szukałem i znalazłem, te liczby to: 2, 4, 6, 8 W dzień spróbuję jeszcze podejść do tego układu równań. Dobranoc

Miś: 2a + 3r = 10

	3
a +		r = 5
	2

grupujemy

1		1		a +3r + a
	+		=		=
a		a + 3r		a(a + 3r)

	10
=		=
	3   3   (5 − r)(5 + r)   2   2

	10
=
	9   (25 − r2)   4

podobnie

1		1		a +3r + a
	+		=		=
a + r		a + 2r		(a + r)(a + 2r)

	10
=		=
	1   1   (5 − r)(5 + r)   2   2

	10
=
	1   (25 − r2)   4

Czyli:

10		10		25
	+		=
9   (25 − r2)   4		1   (25 − r2)   4		24

Dzielimy przez 10 i do wspólnego mianownika:

1   9   25 − r2 + 25 − r2   4   4		25
	=
9   1   (25 − r2)(25 − r2)   4   4		240

Upraszczamy:

10   50 − r2   4		25
	=
9   1   (25 − r2)(25 − r2)   4   4		240

dzielimy obustronnie przez 2,5

20 − r2		1
	=
9   1   (25 − r2)(25 − r2)   4   4		24

mnożymy na krzyż:

9		77
	r4 −		r2 + 145 =0
16		2

Δ = 1156 √Δ = 34 r₁² = 4 ⇒ r₁ = −2 ⇒ a = 8 ⋁ r₁ = 2 ⇒ a = 2

	580		2
r2 =		⇒ r2 = −		√145 ⇒ a = 5 + √145
	9		3

	2
⋁ r2 =		√145 ⇒ a = 5 − √145
	3

AROB: Dzięki Miś i podziwiam. .

Miś: Dzięki za uznanie! Jakoś się to udało zrobić.

AROB:

Bogdan: Próbowałem znaleźć taki sposób rozwiązania zadania, który nie byłby uciążliwy rachunkowo. Myślę, że sposób, który przedstawiam jest już do przyjęcia. Weźmy pod uwagę ciąg arytmetyczny o różnicy r: x, a, y, b, z, c, t: x = b − 3r, y = b − r, z = b + r, t = b + 3r x + y + z + t = 20 ⇒ b − 3r + b − r + b + r + b + 3r = 20 ⇒ b = 5 x = 5 − 3r, y = 5 − r, z = 5 + r, t = 5 + 3r

1		1		1		1		25
	+		+		+		=
x		y		z		t		24

1		1		1		1		25
	+		+		+		=
5 − 3r		5 − r		5 + r		5 + 3r		24

	1		1		1		1		25
(		+		) + (		+		) =
	5 − 3r		5 + 3r		5 − r		5 + r		24

5 + 3r + 5 − 3r		5 + r + 5 − r		25
	+		=
25 − 9r2		25 − r2		24

10		10		25		2		2		5
	+		=		⇒		+		=
25 − 9r2		25 − r2		24		25 − 9r2		25 − r2		24

50 − 2r2 + 50 − 18r2		5
	=
(25 − 9r2)(25 − r2)		24

100 − 20r2		5
	=
625 − 25r2 − 225r2 + 9r4		24

20 − 4r2		1
	=		⇒ 9r4 − 250r2 + 625 = 480 − 96r2
9r4 − 250r2 + 625		24

	195
9r4 − 154r2 + 145 = 0, Δ = 18496, √Δ = 136, r2 = 1 lub r2 =
	9

	√195		√195
r = 1 lub r = −1 lub r =		lub r = −
	3		3

Dla r = 1: x = 2, y = 4, z = 6, t = 8.

Miś: Masz błąd twoje r powinno być

	√145		√145
r =		lub r = −
	3		3

AROB: Witaj Bogdanie. Dziękuję bardzo za podjęcie wyzwania do tak mrówczej pracy i piękną prezentację rozwiązania w innej wersji. Aż mam wyrzuty , że tyle czasu temu poświęciłeś. Jeszcze raz dzięki.

Bogdan:

	290		390
Tak Misiu. Mając ułamek		zapisałem go na kartce w postaci		,
	18		18

niewyraźnie dwójkę zapisałem i potem odczytałem ją jak trójkę i stąd po skróceniu otrzymałem

195		145
	zamiast		. Dziękuję.
9		9

Miś: OK! Teraz mam pewność że to co wyliczyłem zgadza się z twoimi wynikami. Moje r jest 2 razy większe od twojego. Powodzenia.

Bogdan: To r jest tutaj tylko pośrednikiem ułatwiającym obliczenia, zależało mi na uzyskaniu możliwie najprostszych wyrażeń w mianownikach i dlatego zagęściłem ciąg o wyrazy a, b, c, co dało mianowniki w postaci: 5 − 3r, 5 + 3r, 5 − r, 5 + r.

Miś: Dobry pomysł dzięki temu uzyskujesz pewnego rodzaju symetrię wyrażeń.