Potęgi Xavier: Załóżmy, że n = 2015²⁰¹⁵. Wyznacz pierwszą liczbę po przecinku z liczby √n² + n + 1

Vax: Podpowiedź: wynosi ona 5.

Mariusz: Vax podniosłeś do potęgi i policzyłeś pierwiastek PS Znasz sposób wyciągania pierwiastka bazujący na wzorze skróconego mnożenia

Vax: Wystarczy zauważyć, że dla całkowitego n > 3 zachodzi n+0.5 < √n²+n+1 < n+0.6, a ponieważ 2015²⁰¹⁵ > 3, więc pierwszą cyfrą po przecinku jest 5 @Mariusz, chodzi o przybliżanie pierwiastka metodą wykorzystującą te wzory? Jakiś czas temu na innym forum widziałem przykłady, ale nie zwróciłem na nie za mocno uwagi

Mariusz: Chodzi o pisemne wyciąganie pierwiastka w którym wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia (oraz dla liczb także zapis pozycyjny) Dla wielomianów postępując w ten sposób otrzymamy szereg

Mariusz: Istnieje też sposób na policzenie logarytmu dwójkowego bit po bicie który może być przydatny do podnesienia tej liczby do potęgi

Xavier: Vax, muszę to po prostu zauważyć i wykazać na kolejnych przykładach tzw. na kolejnych liczbach większych od 3 czy da się to jakoś wykazać inaczej?

Mariusz: Gdy zapiszesz trójmian pod pierwiastkiem w postaci kanonicznej to okaże się że dla dostatecznie dużych n wyraz który dodajesz do kwadratu możesz zaniedbać Nierówność którą pokazał Vax trzeba pokazać

Mariusz:

	1
n2+n+1=(n+		)2+{3}{4}
	2

{3}{4} można zaniedbać przy dostatecznie dużym n