Stereometria - ostrosłup Patryk: Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o kątach 30 i 45 stopni przyległych do boku o długości 8. Spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz dokładną objętość ostrosłupa. Z tw. Sinusów obliczyłem 2 bok podstawy, po czym obliczyłem pole podstawy, ale to by było na tyle. Jak będzie wyglądał rzut krawędzi bocznej na podstawę? Będzie się zawierał w wysokości podstawy − trójkąta? Jak obliczyć wysokość ostrosłupa?

dero2005: oblicz promień r okręgu wpisanego w trójkąt podstawy

H
	= tg60o = √3 ⇒ H =
r

Mila: Dero, to nie będzie dobrze. Patryk dobrze zapisałeś treść? Może ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 60 ^o.

dero2005: Rzeczywiście, ja odczytałem ( pewnie w wyobraźni), że ściana boczna jest pochylona pod kątem 60^o

dero2005: Przecież jeżeli spodek wysokości jest w środku okręgu wpisanego to musi chodzic o ściane boczną

Mila: Też tak myślę.Poczekamy co napisze Patryk.

Patryk: Już jestem, film oglądałem. Tak, treść jest poprawnie przepisana, lecz... nie wiem czemu w odpowiedzi jest krok (po obliczeniu krawędzi podstawy) następujący: Wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na podstawie i wyznaczenie wysokości ostrosłupa. Dlatego się pytam, bo coś mi tu nie gra

Patryk: Czyli rozumiem, że może być błąd w treści?

Mila: A jaka jest odpowiedź? (wynik). Może z niej domyślę się o co chodzi.

Patryk:

	128
V=		(2√6−3√2)
	3

Mila: Jutro policzę Patryku, jeśli wcześniej Dero ( wielki specjalista ze stereometrii) nie napisze. Za chwilę idę spać. Dobranoc

Patryk: Będę czekał i dziękuję Również życzę dobrej nocy

dero2005: Z treści zadania wynika że: − podstawa jest trójkątem nierównobocznym − spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w podstawę (z tego wniosek, że wysokości ścian bocznych są równe i jednakowo pochylona) − krawędź boczna jest pochylona do podstawy pod kątem 60^o ( pytanie, która krawędź, są trzy każda pochylona pod innym kątem) ?

dero2005: Jeżeli przyjąć, że spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie podstawy to objętość wyjdzie jak w odpowiedzi ):

Patryk: Czyli źle sfornuowana treść powinno być, że ten kąt to kąt między ścianą boczną a podstawą. Wielkie dzięki dero za sprawdzenie tego, pozdrawiam

dero2005: Powinno być, że spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego a nie wpisanego.

Patryk: Okej, dzięki A tak swoją drogą zrobiłbyś te zadanie 281863? Bo próbowałem rozwiązać i mi nie wyszło, a z racji, że uczę się stereometrii, to zaciekawiło mnie

Mila: Wg propozycji Dero z godziny 13:54 wynik jak w odpowiedzi. Licz Patryk. Jeśli nie otrzymasz dobrego wyniku po 20 napiszę.

Patryk: Udało się Jeszcze raz dzięki. Mila, chciałoby ci się pobawić z tym zadaniem, co wyżej dałem link? Mógłbym napisać mój tok rozumowania, ale niestety nie do końca jest poprawny, gdyż nie wychodzi mi wynik taki, jaki powinien.

prosta: myślę, że będę mogła pomóc

Patryk: Hmm, no to poczaruję z rysunkiem

Patryk: A więc treść: Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 7, w którym kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 120 stopni. Wynik ma wyjść 14. ∡DEB=120 H=7 |SC| = b |OE| = h |AB| = a |AC| = 2√2 A więc wziąłem sobie trójkąt OCS do obliczeń. |OC| − połowa przekątnej podstawy, czyli

	a√2
|OC|=
	2

Ze wzoru na pole trójkąta mamy

1		1		a√2
	* h * b =		* 7 *
2		2		2

	7a√2
hb =		/ (...)2
	2

	49a2 * 2
h2b2 =
	4

	49a2
h2 =
	2b2

długość b sobie wyznaczam z pitagorasa na tym trójkącie:

	a√2
49 + (		)2 = b2
	2

	a2
b2 =		+ 49
	2

	a2 + 98
b2 =
	2

Wyliczone b podstawiam do wcześniejszego wzoru na h²

	49a2
h2=
	a2 + 98   2 *   2

	49a2
h2 =
	a2 + 98

	7a
h=
	√a2 + 98

Mając odległość h (|OE) możemy wykorzystać informacje o kącie 120 stopni, czyli weźmy trójkąt OBE, który jest prostokątny i przy wierzchołku E jest kąt 60 stopni. tg 60 = √3

	|OB|
tg 60 =
	h

	a√2   2
√3 =
	7a   √a2 + 98

	a√2		√a2 + 98
√3 =		*
	2		7a

√2a2 + 196
	=√3 / *2
2

√2a² + 196=2√3 No i dalej obustronnie podnosząc do kwadratu wychodzi mi tak, że a² < 0 :C Więc o co chodzi?

Patryk: No i dodam, że jak się podstawi wynik pod a, to się nie zgadza (wychodzi 7=1), czyli po drodze musiałem coś pochrzanić.

prosta: przedostatnia linijka.....przez 14 zamiast przez 2

prosta: i wszystko pasuje

prosta: ja moje rozwiązanie opieram na podobieństwie trójkątów: OCS i OCE....nie muszą wtedy liczyć b.

Patryk: Taki banalny błąd na finiszu... Wielkie dzięki! Tak wiem o co chodzi, też tak wcześniej próbowałem, ale tez gdzieś błąd popełniałem. Tyle liczenia i kombinowania, żeby walnąć się na 7 * 2... Dzięki i pozdrawiam!

Mila: Widzę, że wszystko rozwiązane. Byłam dość zajęta do tej pory.

Patryk: Dzięki, ze przynajmniej zajrzałaś

Mila: