g.: kilka przykładów dot. szeregów. proszę o sprawdzenie. zbadaj zbieżność szeregu. 1. ⁿ√3nⁿ / n! tu mam skorzystać z kryt. Alemberta. czy mogę dla łatwiejszego liczenia skrócić sobie ten przykład do an = 3n/ n! ? i dopiero potem tworzyć an+1? 2. ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ (tw. o 3 ciągach). mogę zrobić to tak? 2ⁿ < ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ < 2ⁿ * 2ⁿ * 2ⁿ 2 < ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ < 2 * ⁿ√3 czyli lim będzie wynosić 2? 3. 2n⁴ + 3n³ - 2n + 1 ------------------------------ dzielę przez n⁴ i otrzymuję lim=2. ? n⁴ + 7n³ + 2n - 1 4. jeżeli dzielę (2n)! przez (2n+2)! to z (2n)! zostaje mi 1, a z (2n+2)! (2n+1)(2n+2)? 5. przykład (n+1)⁷ / 3ⁿ². stosuję kryt. Cauchy'ego. ⁿ√n+1⁷ 1⁷ 1 ------------- = ------- = --------- ? pm{3ⁿ}² 3² 9

b.: 1. Możesz, jeśli dobrze uzasadnisz, dlaczego tak będzie ok. Ale dużo łatwiej będzie pisać tak jak jest, zamiast tak kombinować. Czyli weź a_n = ⁿ√3*n/ n! 2. ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ < 2ⁿ * 2ⁿ * 2ⁿ to jest prawda, ale nic z tego nie wynika może chciałaś ⁿ√2ⁿ * 2ⁿ * 2ⁿ? To też byłaby prawda, ale też za mało. Granica wynosi 7 -- istotnym składnikiem jest 7ⁿ, składnik 2ⁿ jest przy nim pomijalny (co należy uzasadnić pisząc odp. nierówności i korzystając z tw. o 3 c.) 3. tak 4. ,,jeżeli dzielę (2n)! przez (2n+2)! to z (2n)! zostaje mi 1, a z (2n+2)! (2n+1)(2n+2)?'' dziwnie sformułowane chyba tak napiszę może wzorki: (2n+2)! / (2n)! = (2n+1)(2n+2) (2n)! / (2n)! = 1 (to zupełnie jasne) 5. co tam jest w wykładniku przy 3? 2n czy n²? a. jeśli 2n, to jest prawie ok, z tą uwagą, że pierwsza napisana równość nie jest równością, tylko ,,→'' b. jeśli jest n², to ⁿ√3ⁿ² = 3ⁿ → ∞, więc granica całego ilorazu będzie 0. Tak czy siak, będzie <1, więc szereg zbieżny.

g.: 1. tak więc liczę: an = ⁿ√3*n / n! an+1 = pn+1{3(n+1)} / (n+1)! pn+1{3(n+1)} n! pn+1{3(n+1)} 1 ------------------ * ------------- = -------------------- * ------------- (n+1)! ⁿ√3*n (n+1) ⁿ√3*n tylko nie wiem co dalej... 2. ok 7ⁿ tylko czy ta pierwsza nierówność jest prawdziwa? ⁿ√7ⁿ < ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ) < pn{7ⁿ *7ⁿ * 7ⁿ 5.b. tak tam ma być n².... bo ja pisałam... (ⁿ√3ⁿ)² - nie mogę tej potęgi wywalić tak?

b.: 1. tam chyba nie było ⁿ√3n, tylko nⁿ√3, prawda? Tak czy siak, ⁿ√n→1 i również ⁿ√3→1, więc w sumie bez różnicy. Po prostu liczysz granicę tego ilorazu, wszystkie występujące tam czynniki dążą do 1, z wyjątkiem (n+1) w mianowniku, który →∞. Stąd granica ilorazu = 0 < 1. 2. ta nierówność ⁿ√7ⁿ < ⁿ√7ⁿ-2ⁿ jest oczywiście nieprawdziwa! Np. mamy (dla n≥1) 2ⁿ = 2*2^n-1 = (2/7)*7*2^n-1 ≤ (2/7)*7*7^n-1 = (2/7)*7ⁿ i stąd 7ⁿ - (2/7)*7ⁿ ≤ 7ⁿ - 2ⁿ Ta: ⁿ√7ⁿ-2ⁿ < ⁿ√7ⁿ+7ⁿ+7ⁿ (bo chyba o to chodziło?) jest prawdziwa, ale wyjaśnij proszę, czemu (po co) piszesz sumę trzech 7ⁿ? 5. No wiesz, częściowo możesz: (a^x)^y = a^xy czyli ⁿ√ aⁿ² = (aⁿ² )^1/n = a^n2*1/n = aⁿ

g.: 1. nie, tam było ⁿ√3n... czyli nawet pierwiastek n-tego stopnia + 1 z 3 dąży do 1? bo że ⁿ√3 -> 1 to wiem. to przecież jeżeli licznik dąży do 1 a mianownik do nieskończoności to granicą powinna być nieskończoność...? 2. z tymi trzema 7ⁿ, fakt, rozpędziłam się. wystarczy jedna. (chyba?) czyli to będzie wyglądało jak 7ⁿ - (2/7)*7ⁿ ≤ 7ⁿ - 2ⁿ < 7ⁿ to jak tu wyjdzie granica 7? 3. aa ok, rozumiem.

b.: ,,czyli nawet pierwiastek n-tego stopnia + 1 z 3 dąży do 1? bo że n√3 -> 1 to wiem.'' Znaczy chodzi o pierwiastek stopnia n+1 z trzech? To jest podciąg ciągu (ⁿ√3). jak licznik → 1, a mianownik → ∞, to całość → 0 2. no bo trzeba jeszcze nałożyć na obie strony ⁿ√

g.: 1. aha, w porządku. 2. nie rozumiem jak tutaj wyjdzie granica -> 7 ⁿ√7n - (2/7)*7ⁿ

g.: to będzie 7^{n n}√2-2/7 ?

b.: nie 7ⁿ, tylko samo 7 razy ⁿ√1-2/7 a ⁿ√5/7→1

g.: przepraszam, że Cię męczę ale nie może być np. ⁿ√2/7 * 7ⁿ ≤ ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ ≤ ⁿ√7ⁿ 7 * ⁿ√2/7 ≤ ⁿ√7ⁿ - 2ⁿ ≤ 7

b.: wiesz, może być, ale dlaczego akurat 2/7 a nie 5/7? Znaczy, trzeba jakoś uzasadnić, że 2/7*7ⁿ ≤ 7ⁿ-2ⁿ. Powyżej uzasadniłem, że 7ⁿ - (2/7)*7ⁿ ≤ 7ⁿ - 2ⁿ no i lewa strona to 7ⁿ - (2/7)*7ⁿ = 7ⁿ (1-2/7) = 7ⁿ*5/7 czyli (5/7)*7ⁿ ≤ 7ⁿ - 2ⁿ. Oczywiście 2/7<5/7, więc i z 2/7 nie będzie problemu, tylko mam wrażenie, że skoro chcesz pisać 2/7, to coś Ci się myli

g.: wszystko rozumiem do pewnego momentu.... skąd to 1-2/7.... 7ⁿ - (2/7)*7ⁿ = 7ⁿ * (1-2/7)

b.: po prostu, wyłączamy 7ⁿ przed nawias

g.: a,ok dzieki wielkie!