Pochodna I i II rzędu Jerry: Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji: f(x)=8lnx+4x²−8x Help

J: potrafisz policzyć pochodną ?

Jerry: Pochodna wyszła: ⁸_x+8x−8

J: aby funkcja miała punkt przegięcia , to pierwsza i druga pochodna muszą się zerować w tym punkcie. Znajdź miejsca zerowe pierwszej pochodnej.

Jerry: Mógłbym pomnożyć całą pierwszą pochodną przez x, żeby pozbyć się "x" z mianownika i wtedy bym miał 8+8x²−8x=0, to jest równanie kwadratowe, tylko jeżeli przerzucę 8x² na lewą stronę to czy on nie zmieni znaku na "−"?

J: Dziedzina: x > 0 Rozwiąż równanie: 8(x² − x + 1)

Jerry: 8x²−8x+8=0 | /8 x²+x+1=0 Δ=1²−4*1*1= −2 Brak miejsc zerowych

Jerry: Przepraszam, Δ=−3

J: zatem pierwsza pochodna się nie zeruje , czyli nie ma punktów przegięcia, teraz druga pochodna ...?

Jerry: (8x²−8x+8)'= 16x−8=0 16x−8=0 16x=8 / :8 x=⁸₁₆

J: masz liczyć drugą pochodna , czyli pochodną pierwszej pochodnej ..

Jerry: No druga pochodna wyszła 16x−8

J:

	8
nie rozumiesz ...pochodna z pierwszej pochodnej, czyli: (		+ 8x − 8)' = ...
	x

Jerry:

	8		8
(		+8x+8)'= −		+8
	x		x2

J: OK. Trochę się zagolopowałem ze stwierdzeniem,że nie ma punktu przegięcia ...sprawdzimy. Teraz trzeba wyznaczyć miejsca zerowe drugiej pochodnej

Jerry: Czyli

	8
−		+8 | *x2
	x2

8x²−8=0 Δ = 0−4*8*(−8)= −256

J:

	1		1		1
nie ... −8(		−1) = 0 ⇔		−1 = 0 ⇔		= 1 ⇔ ...?
	x2		x2		x2

Jerry:

	1
...⇔		=1 / *x2
	x2

x²=1 ∧ x²=−1 x=1 ⋀ x=−1

J: tak .. ale x = −1 nas nie interesuje ( dlaczego ?) zatem musimy zbadać , czy druga pochodna zmienia znak w punkcie x = 1 , a jeśli tak to jak zmienia ?

Jerry: Dziedzina była x>0

J: tak .. jak druga pochodna zmienia znak ?

Jerry: Patrzymy na współczynnik przy największej potędze, jeżeli jest dodatni, to pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemy jeżeli jest ujemny to z ujemnego na dodatni. Był dodatni więc z + na − zmienia znak.

J:

	1
ponieważ: f"(x) = − 8 (		− 1)
	x2

	1
więc interesuje nas zmiana znku funkcji: f(x) = (		− 1) w punkcie x = 1
	x2