g.: kilka pytań dotyczących poprzednich zadań, które zamieściłam zw. z kryterium porównawczym i zbieżnością bezwzględną. proszę o wyjaśnienie... pytania w szczególności kierowane do b. , który "zajmował się mną" ale jak ktoś inny wie to proszę o odpowiedź 1. czy przy stosowaniu kryterium porównawczego szereg bn ustalamy sami czy musi on wynikać z an (czyli tego podanego, pierwotnego przykładu?) np. był szereg 3ⁿ + 4ⁿ ------------ 5ⁿ i wg kryt. porównawczego jest 0 < (3/5)ⁿ + (4/5)ⁿ < 2 * (4/5)ⁿ 2 * (4/5)ⁿ <- właśnie o to mi chodzi. czy to zostało stworzone, żeby nierówność była prawdziwa? bo to nijak nie wynika z pierwotnego szeregu... 2. 1/ 2n√n+1 -> skąd się wzięło później 1/ 2n^3/2. wiem, że 2 n¹ * n^1/2 ale jest jeszcze ta jedynka.... 3. co do zbieżności bezwzględnej. przykład (-1)ⁿ 5ⁿ/ (n+4)ⁿ. tutaj stosuję kryt. Leibniza ale wiem jedynie, że szereg jest zbieżny. co z tą bezwzględnością? w końcu na początku jest (-1)ⁿ... co w module daje 1ⁿ. to ma jakieś znaczenie? Proszę o wyjaśnienie

b.: ,, który "zajmował się mną" '' melduję się ,,2 * (4/5)n <- właśnie o to mi chodzi. czy to zostało stworzone, żeby nierówność była prawdziwa? bo to nijak nie wynika z pierwotnego szeregu... '' Dam kilka odpowiedzi: 1a. Oczywiście, że nierówność musi być prawdziwa. 1b. Poza tym, nie każda nierówność coś da. Tutaj szereg a_n = (3/5)ⁿ+(4/5)ⁿ okazuje się zbieżny, więc trzeba napisać nierówność 0 < a_n < b_n dla pewnego b_n takiego, że szereg ∑b_n jest zbieżny. Np. prawdą jest, że 0 < (3/5)ⁿ +(4/5)ⁿ < 1+1=2 (*) ale szereg ∑2 (o wyrazach =2) nie spełnia war. koniecznego, więc jest rozbieżny. Czyli (*) jest prawdziwa, ale bezużyteczna. 1c. No dobrze, ale skąd wiadomo, jakie wziąć b_n? No właśnie na tym polega trudność w stosowaniu kryt. por., że w zasadzie znikąd tego nie wiadomo choć oczywiście po rozwiązaniu pewnej liczby zadań nabiera się pewnego doświadczenia. Trochę tak samo jest z tw. o 3 ciągach -- tam też nie wiadomo z góry, jakie kokretnie trzeba wziąć ciągi ograniczające. 1d. Czy tutaj musieliśmy wziąć 2*(4/5)ⁿ? NIe, mogliśmy np. wziąć 3*(4/5)ⁿ albo 2*(0,999)ⁿ, też byłoby dobrze. Wybór 2*(4/5)ⁿ jest jednak naturalny... 2. No właśnie, ta 1 nam przeszkadza. Pozbywamy się jej pisząc nierówność √n+1 > √n czyli 1/√n+1 < 1/√n Na tym właśnie rzecz polega w kryt. por.: chcąc pokazać, że ∑a_n jest zbieżny (a_n>0), upraszczamy sobie sprawę rozważając szereg b_n o wyrazach większych (a_n<b_n), ale za to prostszej postaci. 3. Jeśli zastosujesz kryt. L., dostaniesz tylko zbieżność, nic więcej. Po wzięciu modułu znika (-1)ⁿ i już nie można stosować kryt. L. Jeśli chcesz dostać bezwzględną zbieżność, potrzebujesz innego argumentu, np. tutaj wystarczy kryterium Cauchy'ego.

g.: dobrze rozumiem. troszkę to trudne tak wymyślić jakiś ciąg z niczego... mam pytanie do 3. tak więc | (-1)ⁿ * 5ⁿ/ (n+4)ⁿ | = 1ⁿ * 5ⁿ / (n+4)ⁿ i to 1ⁿ możemy pominąć, bo zawsze jeżeli n>0 to będzie 1. tak więc liczę tylko 5ⁿ / (n+4)ⁿ z kryterium Cauchy'ego i wtedy otrzymuję bezwzględną zbieżność. Tak?

g.: i jeszcze jedno pytanko do 2. to o co pytałam odnosi się do przykładu: √n+2 - √n+1 n+2 - n - 1 1 --------------------- = -------------------- = --------------------- = n n(√n+2+√n+1) n(√n+2+√n+1) √n+2 ≥ √n+1 czyli an = 1 / n(√n+2+√n+1) mniejsze od 1/ 2n √n+1 i tutaj muszę napisać to o czym mi napisałeś -> √n+1 > √n, czyli 1/√n+1 < 1/√n i teraz dopiero mogę napisać 0 < 1/2n√n+1 < 1/2n^3/2

b.: 1. ,,tak więc liczę tylko 5n / (n+4)n z kryterium Cauchy'ego i wtedy otrzymuję bezwzględną zbieżność. Tak?'' Tak. 2. Tak, teraz to jest bardzo dokładnie napisane, krok po kroku. (Czy tak musisz pisać, to nie wiem, to inna sprawa ale w ten sposób chyba każdy widzi, skąd się co bierze)

g.: ok dziękuję