równanie kwadratowe Flinston: Mam wykazać, że równanie x⁴−4√3x²+4 =0 ma cztery rózne pierwiastki i obliczyć sumę czwartch potęg tyh pierwiastków No to założenie, że Δ>0 x² = t gdzie t ∊ R i liczę, liczę t₁=2√3−2√2 lub t₂=2√3+2√2 i co dalej?

Flinston: wracam do poprzedniego założenia pomocniczego, że x²=2√3−2√2 lub x²=2√3+2√2

ja: x⁴+2√2x²+2=0 może mi ktoś powiedziec jak to zrobic?

Mila: (*) x⁴−4√3x²+4=0 t²−4√3t+4=0 Δ=16*3−4*4=48−16=32>0 t₁+t₂=4√3 t₁*t₂=4⇔t₁,t₂>0 ⇔ równanie (*) ma 4 różne pierwiastki x₁=√t₁ lub x₂=−√t₁ lub x₃=√t₂ lub x₄=−√t₂ x₁⁴+x₃⁴+x₁⁴+x₄⁴=(√t₁ )⁴+(−√t₁ )⁴+(√t₂ )⁴+(−√t₂ )⁴= =t₁²+t₁²+t₂²+t₂²= =2*(t₁²+t₂²)=2*[(t₁+t₂)²−2t₁*t₂]= 2*[(4√3)²−2*4]=2*[48−8]=2*40=80

Mila: Jakie masz polecenie do tego równania? x⁴+2√2x²+2=0

ja: x4+2√2x2+2=0 polecenie brzmi: oblicz równanie

pigor: ..., lub np. tak : 1) x⁴−4√3x²+4=0 ⇒ z wzorów Viete.a x₁²+x₂²= 4√3 /² i x₁²x₂²=4 ⇒ x₁⁴ +2x₁²x₂²+x₂⁴ = 16*3 ⇒ ⇒ x₁⁴+ x₂⁴= 48−8= 40 − szukana suma ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2) x⁴+2√2x²+2=0 ⇔ x⁴+2√2x²+√2²=0 ⇔ ⇔ (x²+√2)²=0 i x²+√2 >0 ∀x∊R ⇒ x∊∅ − równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb R. ...

pigor: .., nie wiem czy u mnie to 40 jest ok. , a co do istnienia 4−ech różnych pierwiastków w 1) np. tak : x⁴−4√3x²+4=0 /+8 ⇔ x⁴−2*2√3*x²+12= 8 ⇔ ⇔ (x²−2√3)²=8 >0 ⇒ istnieją 4 pierwiastki x _i , i =1,2,3,4.