hiuhouh zombi: Rozwiń w szereg Taylora w x=0

	1
∫		dx, gdzie k jest parametrem.
	√(1−x2)(1−kx2)

Miałem pomysł, żeby rozwinąć f. podcałkową w szeregu i całkować wyraz po wyrazie, ale nie wiem czy tak mogę, i nie wychodzi mi to zbytnio

Gray: Całka nieoznaczona nie jest funkcją, tylko zbiorem funkcji. Nie będzie więc jednego szeregu Taylora, tylko, naginając trochę teorię, cały zbiór szeregów Taylora.

zombi: No okej wiadomo, że ze stałą tam wyjdzie przyjmujemy, że stała C=0. Jak to policzyć?

Trivial: zombi, nie da się przyjąć, że stała C = 0, bo nie wiadomo odnośnie czego ta stała jest. Powiedzmy że całka wyjdzie (x+1)² + C. Równie dobrze mogło wyjść x² + 2x + C. Oba rozwiązania opisują tę samą rodzinę funkcji. I niby które C ma być równe zero? Takie tam uwagi... Zobaczmy co na to wolfram. http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2F%28sqrt%28%281-x^2%29*%281-k*x^2%29%29%29+dx Ah tak! Całka eliptyczna. Odpowiednim podstawieniem można ją sprowadzić do jednej z kilku postaci kanonicznych. Tutaj moja wiedza się kończy.

zombi: Tylko wskazówkę profesor dał taką, żeby całki nie obliczać. Więc myślałem nad tym, żeby

1
	rozwinąć w szereg i całkować wyraz po wyrazie. Tylko nie umiem tego w
√(1−x2)(1−kx2)

szereg rozwinąć.

Saris: to jakie jest w ogóle polecenie?

zombi: Rozwiń w szereg Taylora.

Gray: Całki nie ma sensu obliczać, bo oznaczając Twoją całkę jako F(x), wiemy, że F(0) może być

	1
dowolną stałą (bo całka nieoznaczona ma stałą c), a F'(x)=		i całki już
	√(1−x2)(1−kx2)

nie ma. Chwilę jeszcze pomyślę jak to sprytnie rozwinąć (w x=0 ← z tym mam mały kłopot). Wiadomo, że wszystkie współczynniki przy x^k, dla k parzystych, będą zerami.

zombi: Tzn prof. mówił że nawet wystarczy znalezienie współczynników do x⁵. I tak sobie myślałem, gdyby rozwinąć

1		1
	oraz		w szeregi do wyrazów rzędu < 5 tj. 3 wyrazy z każdego.
√1−x2		√1−kx2

Przemnożyć te 3 wyrazy x 3 wyrazy (kontrolując to nasze o(x⁵), żeby pozjadało, niepożądane wyrazy) otrzymamy to co chcemy, tylko myślę, że można ładniej.

Gray: Do x⁵ to można tak jak proponujesz (to jest "ładne"). Obydwie te funkcję rozwija się we wzór postaci:

	f''(0)		f(4)(0)
f(x)=1 +		x2+		x4+... reszta jest zbędna, a te dwie pochodne
	2		24

wylicza się łatwo.

Gray: A może miałeś jakieś rozwinięcia podane na zajęciach? Może arcsin?

Trivial: A zresztą, kto by tam rozwijał funkcję podcałkową! Wygląda na trudną. Lepiej rozwinąć funkcję wynikową od razu.

	1
F(0) = 0 F(x) = ∫0x		du
	√(1−u2)(1−ku2)

F'(0) = 1 F'(x) = [(1−x²)(1−kx²)]^−1/2

	x+kx2−2kx3
F''(0) = 0 F''(x) =		F'(x) = g(x)F'(x).
	(1−x2)(1−kx2)

Teraz korzystając ze wzoru Leibniza^[1] mamy:

	n m
F(n+2)(x) = ∑m=0..n		g(m)(x)F(n−m+1)(x)

Dalej:

1−3k

1

1

1

k

x−1

g(x) =

*

−

*

+

*

2k−2

x+1

2

x−1

k−1

kx2−1

	1−3k		1		k
g(n)(0) =		*(−1)n*n! +		n! +		*h(n)(0)
	2k−2		2		k−1

	x−1
gdzie h(x) =
	kx2−1

h(0) = 1 h'(0) = −1 h''(0) = 2k h'''(0) = −6k h⁽⁴⁾(0) = 24k² h⁽⁵⁾(0) = −120k² h⁽⁶⁾(0) = 720k³ Bez dowodu, być może niepoprawnie, ale jest już późno : h⁽ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ*n!*k^[n/2] Zatem:

	1		1−3k		k1+[n/2]
g(n)(0) = (		+ (−1)n(		+		))*n!
	2		2k−2		k−1

No i teraz mamy już prosty przepis na obliczanie kolejnych wyrazów z poprzednich. F(0) = 0 F'(0) = 1

	n−2 m
F(n)(0) = ∑m=0..n−2		g(m)(0)F(n−m−1)(0)

[1]: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Leibniza

zombi: Ja robiłem tak, jak Grey, że

1
	= (∫U{1}{√1−x2dx)' = (arcsin)' a na arcusa znamy.
√1−x2

Ta druga część

1
√1−kx2

W zależności od tego czy k>0 czy k<0 otrzymujemy arcsin lub arcsinh w lekkimi modyfikacjami.

Mariusz:

1		1
	oraz		można obliczyć z wzoru dwumianowego Newtona
√1−x2		√1−kx2

a następnie skorzystać z iloczynu szeregów Cauchyego a dopiero na końcu scałkować

jc: A dalej moze się przydać wzór Newtona, z którego wynika, że

	−1/2 n		2n n		x2n
(1−x2)−1/2 = ∑		(−1)n x2n = ∑
					4n

Mariusz: jc o tym pisałem wyżej ale czy iloczyn Cauchyego szeregów zadziała ? Mielibyśmy po nim podwójną sumę z której policzeniem mają problem programy matematyczne

jc: @Mariusz. Tak, pisałeś. I tak, ja pisałeś, każdy spółczynnik będzie wielomianem zmiennej k. Przy x²ⁿ będzie stała suma

	2m m		2n−2n n−m
4−n∑m=0n				km

A na koniec, zgodnie z Twoją instrukcja, całkujemy wyraz po wyrazie.

Mariusz: Czy aby na pewno iloczyn Cauchyego będzie tak wyglądał ? Czy aby na pewno jest tam 4⁻ⁿ (czy wykładnik tej potęgi nie powinien zależeć także od m)

Mariusz: No dobra jak rozpisałem to m się skróciło