Udowodnij... Phoebe Campbell: Mam udowodnić, że jeśli x²y² + z² = 2xyz to z=xy Czy mogę zrobić to podstawiając do danego wyrażenia xy zamiast z i wykazując, że obie strony są identyczne? x²y² + z² = 2xyz x²y² + x²y² = 2xyxy 2x²y² = 2x²y²

ICSP: używasz tezy aby udowodnić "co"?

Phoebe Campbell: Z zadaniami typu udowodnij mam styczność od wczoraj czy przedwczoraj... Rozumiem, że tak nie można i muszę pokombinować z wyrażeniem żeby doprowadzić je do formy z=xy czy coś tego typu...?

ICSP: Przekształcasz założenie tak aby dojść do tezy lub przekształcasz którąś stronę tezy za pomocą założenia tak, aby otrzymać drugą stronę.

Phoebe Campbell: Czyli tak... (?) x²y² + z² = 2xyz x²y² + x²y² = 2xyz 2x²y² = 2xyz 2xy * xy = 2xyz z = xy

PW: Dla xyz ≠ 0 teza jest równoważna następującej:

	xy		z
		+		= 2.
	z		xy

	xy
Czy teraz umiemy coś powiedzieć o liczbie		?
	z

To dopiero wstęp, ale zacznijmy od takiego rozważania.

Phoebe Campbell: PW.

	xy		z
Skoro		= 1 i		= 1 to z=xy?
	z		xy

PW: O to idzie, znana jest (łatwa zresztą do udowodnienia) nierówność: dla a > 0

	1
a +		≥ 2,
	a

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1. Mamy więc udowodnione badane twierdzenie dla przypadku, gdy xy > 0 i z > 0 − wtedy liczba

	xy
		jest dodatnia i możemy powołać się na znane twierdzenie.
	z

Co będzie, gdy xy > 0 i z < 0 lub odwrotnie − gdy xy < 0 i z > 0?

Phoebe Campbell: W zadaniu nie mam informacji o tym czy liczby są dodatnie czy ujemne, więc liczyłbym tak jak napisałem w 5 poście.

ICSP: znowu wykorzystałeś tezę.

PW: Ja Cie zachęcam do myślenia, a Ty koniecznie chcesz liczyć. Dowodzenie twierdzeń to zazwyczaj nie mechaniczne liczenie. Przecież w tym piątym wejściu także korzystasz z tezy, a więc źle.

Phoebe Campbell: Jeżeli xy >0, a z < 0 to nie wyjdzie to samo? x²y² + z² = −2xyz //tutaj dodałem minus przed z, a przy z² nie ze względu na kwadrat

xy		−z
	+		= −2 //podzieliłem przez −xyz
−z		xy

xy		z
	+		= 2 //pomnożyłem * (−1)
z		xy

ko: mamy udowodnić że jeśli x².y ² = 2 x y z to z = xy a więc ze wzorów skróconego mnożenia wiemy że A² −2 A B + B² = (A−B)² w naszym zadaniu ta lewa strona jest częścią lewej strony tego wzoru skróconego mnożenia trzeba odjąć to co brakuje 2 AB tzn. 2 x y z a więc odejmując 2 x y z obie strony mamy: x².y ² − 2 x y z = 2 x y z − 2 x y z ⇔ (x y− z)² =0 ⇒x y −z =0 ⇒z=x y c. k. d.

PW: ko, a gdzie zgubiłeś z² z tego "wzoru"? A właściwie skąd on tam jest, gdy jego tam nie było?

ko: sorry jest błąd na początku ostatniej linii to powinno być x² y² + z² − 2xyz = 2x y z− 2 x y z ⇔(x y − z) ² = 0 ⇔x y −z =0 ⇔z = x y c.k.d

ko: sorry w zadaniu było x² y² + z² = 2 x y z źle zapisałem treści tego zadania

Phoebe Campbell: PW − to co napisałeś w 6 poście z dodaniem, że xy/z = z/xy więc z = xy jest wystarczające jako dowód? I to co ja napisałem dla xy > 0 i z < 0 jest ok? Chciałbym to "ogarnąć".. do matur jeszcze ponad rok, ale i tak sporo tego jest...

ko: p.b do takich zadań zazwyczaj się próbuje skorzystać z wzorów skróconego mnożenia lub innych wzorów związanych ze średnią arytmetyczna , geometryczną aby doprowadzić do znanych faktów ze zbioru liczb rzeczywistych jak w tym zdaniu jeśli A² =0 to A=0

PW: Nie, utożsamiłeś ujemną "z" z taką z, przed którą stoi minus − to błąd logiczny. Popatrz uważnie na zadanie − przecież po lewej stronie badanej równości jest liczba nieujemna (suma kwadratów). Skoro ma miejsce równość, to i prawa strona jest nieujemna, nie trzeba nic więcej rozważać. Przypadek xyz = 0 jest oczywisty − wtedy wszystkie występujące w równości liczby są zerami. Trochę żartowałem zadając pytanie o ujemne xy czy ujemne z. Oczywiście dowód ko nie ma takich niuansów − zaczynasz od zdania Prawdziwe jest zdanie (xy−z)² = 0 ⇔ xy = z, a zdanie to jest równoważne następującym:.... i koniec.

PW: Pisanie tego zajęło mi więcej niż 3 minuty, właśnie Cię chwalę

Phoebe Campbell: No dobra.. długa droga jeszcze przede mną Dzięki Wam za pomoc

Dziadek Mróz: Teza, antyteza, proteza