Twierdzenie Cayleya Hamiltona Dawid: Twierdzenie Cayleya Hamiltona Witam zaczynam dopiero przygodę z macierzami, aktualnie podstawowe operacje na macierzach dodawanie, odejmowanie, mnożenie i potęgowanie. Pytanie jest odnośnie potęgowanie znalazłem w internecie szybszy sposób ponoć na potęgowanie. Wykorzystując twierdzenie Cayleya Hamiltona i mam pytanie co to jest macierz skalarna ? I jak ją wyznaczyć ?

Saris: Macierz skalarna to macierz diagonalna, której elementy na przekątnej głównej są takie same, tzn że można ją przedstawić jako iloczyn jakiegoś skalaru i macierzy I (macierz jednostkowa). Wyznaczyć w sensie? Jeśli dopiero zaczynasz się tego uczyć to raczej trudno Ci będzie z tego korzystać ze zrozumieniem, jeśli zapewne nie miałeś jeszcze wektorów własnych, wartości własnych, macierzy diagonalnych i wielomianów charakterystycznych. No chyba, że traktować to jako schemat, ale moim zdaniem głupotą jest korzystać z czegoś tego nie rozumiejąc.

Dawid: Znalazłem właśnie że po głównej przekątnej macierzy wstawia się same jedynki a resztę zastępujemy zerami ? Zawsze zastępujemy 1 bo widziałem przypadki że zamiast liczby jeden pojawia się dwa od czego to zależy ?

Dawid: A dobra już wiem Bo jest mnożenie przed

Saris: macierz I to macierz jednostkowa, że na głównej przekątnej masz zawsze 1 i ta macierz zawsze tak wygląda. macierz skalarna to macierz typu c*I, gdzie c to jakiś skalar. Dla c=2 macierz będzie miała same dwójki na przekątnej głównej. Nic nie zastępujesz 0, bo macierz jednostkowa wszędzie ma 0, prócz głównej przekątnej. 2*0=0

Dawid: Rozumiem, dziękuje.

Dawid: to jak mam taką macierz 3x3 podniesioną do kwadratu −1 −1 −1 ² 0 1 0 0 0 1 To robię tak to : λ+1 −1 −1 ω(λ)= 0 λ−1 0 = λ³−λ²−λ+1 0 0 λ−1 λ³−λ²−λ+1=0 A³−A²−A+I₃ A²=A³−A+I₃ Więc w ten sposób nie ma co liczyć macierzy podniesionej do kwadratu ?

Saris: λ+1 1 1 ω(λ)= 0 λ−1 0 = ... 0 0 λ−1 źle odjąłeś Niem wiem czy to ci coś uprości, ale korzystanie z tego do liczenia A² to trochę przesada, jeśli miałbyś liczyć 3,4,5 potęgę, to wtedy zapis się może uprościć..

Dawid: czemu 1 1 a nie −1 −1 ?

Saris: ω(λ)=(λI−A)

Dawid: A co jest łatwiejsze przy liczeniu potęg metodą Cayleya czy metodą diagonalizacji macierzy ?

Saris: Co? Co to jest metoda diagonalizacji? http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cayleya-Hamiltona

Dawid: http://youtu.be/AVTHCLZTMUg?t=13m21s

Saris: łatwiejsze jest przemnożenie macierzy przez siebie.

Dawid: Rozumiem a korzystając z Tw Cayleya mając macierz 2 0 1 1 To wielomian charakterystyczny to : ω(λ)= λ−2 0 −1 λ−1 Dobrze?

Saris: wielomian charakterystycznym nie jest ta macierz tylko jest wyznacznik.

Saris: korzystając z tw Cayleya masz ω(A)=0_n gdize n to wymiar macierzy kwadratowej.

Dawid: a gdzieś znajdę coś więcej na temat tego ? Bo w internecie nic za bardzo nie ma. Jakieś przykłady na podstawie tego Tw.

Saris: No wikipedii masz przykład. To zawsze się tak samo robi.

Dawid: Czyli to co zrobiłem powyżej jest dobrze?

Saris: det | elementy macierzy |, brakuje ci det. Teraz napisałeś, że ω(λ) to macierz.

Dawid: ω(λ)=λ²−3λ+3

Saris: Tam miało być det [ elementy macierzy ]. W każdym razie chodzi o to: A=[x] − macierz detA=det[x]=|x| − wyznacznik macierzy.

Dawid: więc jak mam 0 1 0 0 0 1 −1 −1 −1 to: λ −1 0 0 λ −1 1 1 λ Dobrze?

Saris: A₃₃=λ+1 Mi tylko o zapis chodzi: A= 0 1 0 0 0 1 −1 −1 −1 λ −1 0 ω(λ)=det(λI−A)=det [ 0 λ −1 ] = ... 1 1 λ+1 ω(A)=0₃

Dawid: Rozumiem to pozostałe liczby zamieniamy na przeciwne mamy wiersz 0 1 0 to otrzymujemy λ −1 0 To czemu tutaj jest inaczej ? http://youtu.be/aNQyl--gSDY?t=18m49s

Saris: Bez różnicy w tym wypadku. Z tego Tw. wiesz, że pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego jest ta Twoja macierz A ⇔ w(A)=0. Załóżmy, że ten wielomian wygląda tak w(A)=A³+2I−A=0 Jaka jest różnica między tym: A³+2I−A=0 a tym: −A³+2I−A=0 ? Jeśli w(A)=0 to −w(A)=0 to zmienia znak wielomianu tylko.

Saris: −2I*

Saris: −2I+A*

Gray: Do pytania z 16:58 − potęgowanie macierzy (duże potęgi) liczy się z postaci Jordana. Jeżeli macierz jest diagonalizowalna, rachunki są wyjątkowo proste.