Zadanie z ciągów ze zbioru Kiełbasy vdmath: Dla jakich wartości parametru a równanie a+asinx+asin²x+asin³x+....=sinx−0,5, gdzie lewa strona równania jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, ma rozwiązania rzeczywiste

	1
Odp.: −3<a≤
	16

Qulka:

a
	=sinx−0.5
1−sinx

sinx=t 2t²−3t+1+2a=0 t_1,2∊<−1;1> i Δ≥0 i wzory Viete'a

vdmath:

	1
z delty wyszło mi a≤
	16

	3−√1−16a
t1=		, gdzie a∊<−3;0>
	4

	3+√1−16a
t2=		, dla a∊(−∞; −3>u<0;+∞)
	4

	3
t1+t2=
	2

	1+2a
t1*t2=
	2

i nie wiem jak podać wynik...

Qulka:

	1+2a		1+2a
t1•t2 =		więc −1 <		<1
	2		2

vdmath:

	3		1
teraz a ∊<−		;		> co znowu nie daje wyniku z książki
	2		16

Qulka: aaa bo to wystarczy że chociaż jeden jest ułamkiem.. nie muszą oba więc z tego t₁ wychodzi Ci że a≥−3 z tego t₂ wychodzi a ≥0 suma ich to a≥−3 bo wystarczy że którykolwiek dokładając deltę (bo muszą istnieć pierwiastki ) a∊<−3;1/16> i faktycznie taki jest zbiór wartości funkcji a= (sin(x)−0.5)(1−sin(x)) http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28sin%28x%29%E2%88%920.5%29%281-sin%28x%29%29

vdmath: coś nadal średnio mi się podoba... ale zakładając, że t₁ ≥−1 i t₂<1 (a ≠0), to suma tych

	1
przedziałów, daje a∊<−3; +∞), dodając do tego Δ, rzeczywiście wyjdzie a∊<−3;		>, ale
	16

jakoś chyba to jest mocno naciągane i nigdy nie znając odpowiedzi nie wpadłabym na to... w każdym razie bardzo dziękuję za pomoc i poświęcony czas

Archeolog: Zostawiając w postaci −(2t²−3t+1)=2a, gdzie t należy do zbioru (−1;1) [ |sinx| < 1 ] Wychodzi, że mamy obliczyć zbiór wartości tej funkcji i podzielić go przez −2. Obliczamy wierzchołek = delta jest 1, więc wierzchołek = −1:8 t należy tylko od (−1 i 1), więc sprawdzamy jakie wartości przyjmują te punkty f(1) = 0 f(−1) = 6 , więc to jest punkt 'najwyżej' od wierzchołka ZW = (−1/8; 6) Teraz wierzchołek i najwyższy punkt dzielimy przez −2 (przekształcamy funkcję na której operowaliśmy) i otrzymujemy punkty : −1/8:−2 = −1/16 oraz 6:−2 = −3 dzielimy całą funkcję przez minus więc ZW się odwraca i mamy ZW = (−3; 1/16). Funkcja ta ma wzór −t²+1,5t−1/2 = a, więc a jest tym zbiorem wartości. Można było liczyć bez usuwania ułamków ale tak było 'wygodniej'. Graficznie też by się dało rozwiązać.

Archeolog: Przy −1/8 i 1/16 przedział zamknięty >, bo wierzchołek należy do funkcji, a punkt f(−1) nie.

Archeolog: Jeszcze kolejny dopisek można zapisać w postaci −f(x) = 2a, żeby było łatwiej to zrozumieć.