jak obliczyć Michał: Z punktu P= (−1, 0) poprowadzono sieczną i styczną do okręgu o środku w sunkcie S = ( 1, √6) Sieczna odległa jest od środka okręgu o 1 i przecina go w punktach B, oraz D Punkt A jest punktem wspólnym okręgu i stycznej. Wiedząc że odcinek AB jest średnicą okręgu wyznacz równanie okręgu o; (x−1)² + (y −√6)² = r² IPAI² = IPDI*IPKI obliczyłem ISPI = √10 i z tw Pit z ΔPSK IPKI² = 11 ⇒ IPK I= √11 K ∊IPBI i ISK I ⊥ I PB I i ISK I = 1 dalej nie mam pomyślu jak obliczyć r

Janek191:: Może trzeba skorzystać z tw. o odcinkach siecznej i stycznej Patrz po lewej stronie na: geometria na płaszczyźnie

Michał: IPB − sieczna IPAI − styczna tw o odcinkach siecznej i stycznej IPAI² = IPDI * IPBI ale z tu mam następujące niewiadome IPAI , IPDI , IPBI

Michał: ponawiam prośbę czy ktoś ma pomysł jak obliczyć r

Michał: korzystają z tw oodcinkach siecznej i stycznej obliczyłem IPAI² = IPSI² − ISAI² = 10 − r² ale nadal mam za dużo niewiadomych a wynik jest że są dwa okręgi (x−1)² + (y−√6)² = 5 lub (x−1)² + (y−√6)²= 2

prosta: |PK| =√9=3 x− połowa długości cięciwy, y=|PA| (3−x)(3+x)=y² −−−−−> z tw. o odcinkach stycznej i siecznej y²=2²+(3−x)² −−−−−>tw. Pitagorasa w ΔAPD 9−x²=4+9−6x+x² x²−3x+2=0 x=1 lub x=2 r=√2 lub r=√5

Michał: jak obliczyłaś że I PK I = 3 proszę o rysunek który odcinek to x a który y

prosta: z tw. Pitagorasa w trójkącie PSK: |PK|²+|SK|²=|PS|² |PK|²+1=10 |PK|=3

prosta: z tw. o stycznej i siecznej: |PD|*|PD|=|PA|² (3−x)(3+x)=y² , gdzie x=0,5|BD|=|KD|=|KA|

Michał: mam narysowany rysunek i jezeli oznaczenia twoje przeniosłem na mój to KD ≠ KA bo z Δ PKA PK = PD + DK a PA to prosta styczna do okręgu czyli PA i KA to ramiona Δ PKA PK to jego podstawa

prosta: sorki x=0,5|BD|=|KD|=|KB|

prosta: K jest środkiem cięciwy BD A jest punktem styczności

Michał: jeszcze mam pytanie na jakiej podstawie DK = 2

5-latek: Czesc prosta Dlaczego zmienilas nick?

Michał: już wiem AD = 2 * KS − tw o odcinku łączący środki dwóch boków trójkąta Δ ADB dziękuję bardzo

prosta: Cześć. [P[5−latek] to mój pierwszy i jedyny nick na tym forum

Mila: Uporządkowałam Wasze rozwiązanie. S=(1,√6) P=(−1,0) |PS|²=2²+√6²=10 WΔSKB: (*) r²=x²+1 W ΔPKS: |PS|²=PK²+1² 10=|PK|²+1 |PK|=3 Z tw. o odcinkach siecznej: |PD|*PB|=|PA|², |PD|=3−x (3−x)*(3+x)=|PA|² W ΔADP: |PA|²=2²+(3−x)² (3−x)*(3+x)=4+(3−x)² 9−x²=4+9−6x+x² x²−3x+2=0 Δ=9−8=1 x=1 lub x=2 Po podstawieniu do równania (*) r=√2 lub r=√5

Michał: jeszcze raz dziękuję wszystkim

Mila: Nie wiem, czy to przydało się, ale zadanie ciekawe.

prosta: rysunek to geogebra czy geonext?