Rachunek różniczkowy, raczej proste zadania Michał: Witam, Mam problem z zadaniami z Aksjomatu. Dotyczą one rachunku różniczkowego. Pierwsze to: 1.Na paraboli y=3x²−5x+6 znajdź punkt leżący najbliżej punktu (3,2). Tutaj teoretycznie wiem jak to zrobić, bo myślę że muszę wyznaczyć pochodną, następnie napisać równanie prostej stycznej do paraboli, a potem prostą prostopadłą do punktu (3,2) i zobaczyć w jakim miejscu przecina, tylko sporo gorzej z realizacją 2.W trójkącie ABC wierzchołek C leży na wykresie funkcji f(x)=√x oraz A=(−1,0) i B(0,1). Wyznacz współrzędne punktu C tak, aby pole trójkąta ABC było jak najmniejsze. Tutaj chciałem oprzeć się na wzorze Herona, ale nie wygląda to jakkolwiek zachęcająco. Może jest jakaś inna droga? Teoretycznie to wiem jaki to będzie punkt, bo to będzie ten leżący na prostej AB(czyli taki gdy trójkąt nie istnieje−tak mi sie wydaje), ale na pochodne to nie wiem jak zrobić. Bardzo bym prosił o zrobienie, lub pomoc w zrobieniu tych zadań. W nagrodę mogę wysłać albo ale także

Michał: Edit. w 2 wykres √x dotyczy tylko liczb dodatnich, teraz to zauważyłem.

===: 1) ... JUŻ W OPISIE PROBLEM nie znam prostej prostopadłej do punktu i też tego nie zrealizowałbym −

Kacper: Zadanie 2 → wzór z wyznacznika będzie ok. Zadanie 1 P=(x,3x²−5x+6) − punkt na paraboli A=(3,2) |AP|=√(3−x)²+(3x²−5x+6−2)²=√x²−6x+9+9 x⁴−30 x³+49 x²−40 x+16 =√9 x⁴−30 x³+50 x²−46 x+25 Teraz chcemy, żeby odcinek |AP| był najkrótszy, czyli możemy szukać minimum kwadratu tej odległości. Wobec tego szukamy minimum funkcji f(x)=9 x⁴−30 x³+50 x²−46 x+25. To minimum mamy dla x=1, zatem nasz punkt ma współrzędne P(1,4).

Michał: A mógłbyś napisać jaki Tobie ten wzór z wyznacznika wychodzi? Może robię gdzieś błąd. Dzięki

Mila: AB: k: y=x+1⇔x−y+1=0 C=(x, √x), x≥0

	|x−√x+1|
d(C,k))=		odległość punktu C od prostej AB: y=x+1
	√12+12

	|x−√x+1|
d(C,k)=
	√2

	√2		|x−√x+1|		|x−√x+1|
PΔ=		*		=
	2		√2		2

	1
P(x)=		*(x−√x+1) dla x≥0
	2

	1		1
P'(x)=		*(1−		) , x>0
	2		2√x

	1
P'(x)=0⇔x=
	4

	3
Pmin=
	4

	1		1
C=(		,		)
	4		2

Kacper: Masz rozwiązanie klasyczne od Mili Ja dziś czasu nie mam.

Mila:

Michał:

prosta: W pierwszym zadaniu długość odcinka AP , gdzie P jest punktem paraboli....otrzymamy funkcję z niewiadomą x, potem pochodna itd

prosta: już zrobione wyżej, przegapiłam