Nierówność
LFC: Udowodnij, że dla dowolnych liczb a,b zachodzi nierówność:
| a | | b | | 1 | |
| + |
| ≤ |
| |
| a4 + b2 | | b4 + a2 | | ab | |
23 lut 12:58
LFC: Ma ktoś pomysł jak do tego podejść?
23 lut 15:43
Vax: Zauważ, że a
4+b
2 ≥ 2a
2b, analogicznie b
4+a
2 ≥ 2ab
2, skąd:
| a | | b | | a | | b | | 1 | | 1 | | 1 | |
| + |
| ≤ |
| + |
| = |
| + |
| = |
| |
| a4+b2 | | b4+a2 | | 2a2b | | 2ab2 | | 2ab | | 2ab | | ab | |
23 lut 16:26
Vax: Brakuje założenia, że a,b są dodatnie. Bez niego teza jest nieprawdziwa np dla a=1, b=−1
23 lut 16:32
LFC: Skąd zakładasz że a4+b2 ≥ 2a2b ?
23 lut 21:42
chcezapomniec: ⇔(a
2−b)
2≥0
Rozłóż to, a zobaczysz
23 lut 21:43
LFC: No dobra, ale:
− skąd w ogóle dochodzimy do takiej nierówności?
− dlaczego jest różnica a nie suma w tym nawiasie?
P.S. Tak mój błąd, dla dowolnych dodatnich
23 lut 21:58
chcezapomniec:
Do tego się nie dochodzi, to jest prawdziwe dla dowolnych a,b ∊ℛ
Cała trudność w tym zadaniu polegała zauważeniu pewnej innej, pomocniczej nierówności, która
również spełnia założenia. Z czasem będziesz wiedział takie rzeczy automatycznie
23 lut 22:03
LFC: Dzięki, już złapałem ^^
23 lut 22:08