Potęgowanie LFC: Czy równanie a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = 5²⁰¹⁵ ma rozwiązanie w liczbach całkowitych a,b,c,d? Uzasadnij swoją odpowiedź.

LFC: Jakieś opcje?

Vax: Nie ma. Dla każdego całkowitego x mamy x⁴ = 0 (mod 5) lub x⁴ = 1 (mod 5), skąd łatwo widać, że jakby istniały takie a,b,c,d musiałoby być 5 | a,b,c,d skąd a = 5a', b = 5b', c = 5c', d = 5d', czyli a'⁴+b'⁴+c'⁴+d'⁴ = 5²⁰¹¹, powtarzając nasze rozumowanie dochodzimy do równania x⁴+y⁴+z⁴+t⁴ = 125, gdzie można już łatwo na palcach sprawdzić, że nie ma rozwiązań.

LFC: A da radę bez tych modulo? Ja narazie to poziom licealny mam

chcezapomniec: To jest licealny sposób, ale nie twojej szkoły

chcezapomniec: Powiedz takim razie, jakie dają reszty z dzielenia przez 5 te liczby: 5x⁴ (5x+1)⁴ (5x+2)⁴ (5x+3)⁴ (5x+4)⁴

LFC: Hmmm. No 0, 1, i..6?

LFC: No tak, dobra, 0 i 1.

LFC: Dobra, już rozgryzłem całość posiłkując się Waszym rozwiązaniem. Dzięki!