bazy Saris: Wiedzac, ze wektory u, v,w stanowia baze przestrzeni liniowej V (nad ciałem R), zbadaj, który z ponizszych układów takze stanowi jej baze: a) B1 = (u−2v+w, 3u+w, u+4v−w), b) B2 = (u, 2u+v, 3u−v+4w). Wyznacz współrzedne wektora a = 2u − 3v + 8w wzgledem tej bazy. B={u,v,w} |B|=3 ⇒ dim V=3 B⊂V , |B₂|=dimV=|B₁| Wystarczy pokazać liniową niezależność tych wektoró z B1, B2? Potem tylko podstawić do kombinacji liniowej?

Saris: W przestrzeni wielomianów R[x]2 dana jest baza B1 = (1, x, x²). Wykaz, ze układ B2 = (1, x−2, (x−2)²) stanowi baze R[x]2. Podaj współrzedne wielomianu P(x) = 2x² + 3 wzgledem obu baz. Czy zbiór A = {p ∊ R[x]2 : p(1) = p'(0)} stanowi podprzestrzen tej przestrzeni? Jezeli tak, wyznacz jej baze i wymiar. A jest podprzestrzenią R[x]2, ale jak wyznaczyć bazę takiej podprzestrzeni?

Saris: B={(x²−1), 1} |B|=2 ⇒ dim A=2 czy to jest dobrze?

Saris: Dany jest endomorfizm f: R[x]3→R[x]3 taki, że (f(w))(x)=(x−1)w''(x)+w'(x)+(3x²−2x−1)w'(0) dla każdego wielomianu w∊R[x]3 oraz x∊R. Wyznacz obraz i jądro endomorfizmu f oraz ich bazy i wymiary. −−− No to najpierw wypadałoby by ogarnąć, jak ten endomorfizm w ogóle wygląda. w(x)=ax³+bx²+cx+d w'(x)=3ax²+2bx+c w'(0)=c w''(x)=6ax+2b (f(w))(x)=(x−1)(6ax+2b)+3ax²+2bx+c+(3x²−2x−1)c= (9a+3c)x²+(4b−6a−2c)x−2b Kerf: (f(w))(x)=0 (9a+3c)x²+(4b−6a−2c)x−2b=0 9a+3c=0 4b−6a−2c=0 ⇔ b=0, a=t, c=−3t t∊R −2b=0 Nie wiem czy to dobrze robię. Poratuj ktoś

Gray: Dobrze.

Saris: czyli Kerf={(t,0,−3t)∊R³} ⇒B_Kerf={(1,0−3} ⇒ dim Kerf=1 dim R[x]3 − dim Kerf = 3−1 = 2 = dim Imf Imf=lin{(9a+3c)x2+(4b−6a−2c)x−2b}=lin{(9,0,3),(−6,4,−2),(0,−2.0)}=lin{(9,0,3),(−6,4,−2)} dobrze?

Gray: Kerf to podprzestrzeń przestrzeni wielomianów, a nie R³. kerf ={x→tx³−3tx+d, t,d∊R} ⇒ dimkerf=2

Gray: Bazą jądra są dwa wielomiany: v₁(x)=x³−3x, v₂(x)=1.

Saris: ale to przecież odwzorowanie ma się zerować. W odwzorowaniu d nawet nie ma.

Saris: masz rację zle zapamietalem definicje. tylko w takim razie dim Imf=1 czyli jest reprezentowany przez 1 wielomian? jak go wyznaczyć?

Saris: stop dim R[X]3 wcale nie musi być 3. czyli ok to będą dwa wektory bo tak wychodzi. Imf=lin{(9,0,3),(−6,4,−2)} i te wektory stanowią bazę Imf, wymiar 2. Dobrze?

Saris: niech ktoś sprawdzi tylko obraz Ładnie proszę

Saris: .

Qulka: mój umysł się buntuje przed analizą tego zadania może za parę tygodni jak przywyknę znów do tych robaczków

Saris: Hehe za parę tygodni to algebra będzie wspomnieniem .

Qulka: i znów zapomnę jak to się robi

Saris: czemu zapomniesz?

Qulka: bo jak się nie używa to się natychmiast zapomina zwłaszcza, że tak sporadycznie się widzi

Saris: no to jest ten problem .

Qulka: ale jak algebra będzie wspomnieniem to może będziesz miał coś milszego

Gray: Niestety ma duży deficyt czasowy, dlatego bywam tu ostatnio rzadziej. Źle zrobiłeś. Mamy tak: dimkerf=2, zatem dimImf=2, bo dim R₃[x]=4. Aby wyznaczyć bazę obrazu możemy zrobić tak: bazą jądra są: v₁(x)=x³−3x, v₂(x)=1. Dopełniamy te wektory do bazy R₃[x], np. v₃(x)=x, v₄(x)=x². Jest jasne, że wektory v₁,v₂,v₃,v₄ są bazą R₃[x]; wiemy również, że v₁ i v₂ są bazą jądra. Można dość łatwo pokazać (ogólnie znany fakt), że wektor f(v₃) i f(v₄) są bazą obrazu. Mamy więc f(v₃)=f(x)=1+3x²−2x−1=3x²−2x f(v₄)=f(x²)=2(x−1)+2x=4x−2 Czerwone to baza obrazu. Koniec.