KWADRATOWA Zdzisiu: Wyznacz wartości parametru m, dla których suma odwrotności kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x2+2mx−x−1=0 jest równa 3. Δ>0 1/x12+1/x22=3 Δ=(2m−1)2+4=4m2−4m+5 I teraz Δ z m wychodzi ujemna?

irena_1: x²+(2m−1)x−1=0 Δ=(2m−1)²+4≥4 Dla dowolnej rzeczywistej liczby m równanie ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste x₁+x₂=−2m+1 x₁x₂=−1

1		1		x12+x22
	+		=		=
x12		x22		x12x22

	(x1+x2)2−2x1x2
=		=
	(x1x2)2

	(−2m+1)2−2(−1)		4m2−4m+1+2
=		=		=
	(−1)2		1

=4m²−4m+3 4m²−4m+3=3 4m²−4m=0 4m(m−1)=0 m=0 lub m=1

J: skoro Δ_m jest ujemna, to oznacza,że Δ > 0 dla każdego m

Jolanta: Δ=4m²−4m+1 po lewej stronie masz napisanie jak sie podnosi do kwadratu

Jolanta: oczywiście +5

Zdzisiu: dzięki wielkie a moglibyście mi pomóc jeszcze rozwiązać to: √x²+7 > √2x + 3√2 podnioslem to do kwadratu, x²+7 zawsze jest dodatnie, więc nie muszę rozpisywać na moduły, zatem: x²+7>2x²+12x+18 −x²−12x−11>0 Δ=144−44=100 x1=−1 x2=−11 x∊(−∞;−11) ∪ (−1;∞) a prawidłowy wynik z odpowiedzi to x∊(−∞;−1) Co jest źle?

Zdzisiu: i jeszcze jedno: jak się rysuje takie funkcje: a) f(x)=|x²+2x|−4 b)f(x)=|x²−4|+x²

5-latek: Po pierwsze x²+7 nie zwiniesz do kwadratu z echcesz rozpisywac na moduly Po drugie patrz rysunek

J: a) rysujesz f(x) = x² +2x , odbijasz to co pod osią OX nad oś OX, przesuwasz o 4 w dół b) dla x² − 4 ≥ 0 rysujesz f(x) = 2x² − 4 dla x² − 4 < 0 rysujesz: f(x) = 4

Zdzisiu: okej, rysowanie już rozumiem, ale tej nierówności, co 5−latek narysował wykres niestety dalej nie mógłby ktoś w całości napisać rozwiązanie

5-latek: Tylko dlatego ze masz na imie jak moj brat to zapytam Cie czy dobrze przepisana jest tresc zadania czy prawa strona nierownosci ma byx taka > √2x+3√2 tzn czy ten x ma byc pod pierwiastkiem vzy nie bo to jest duza roznica

Zdzisiu: Dobrze przepisałem treść, tylko 2 jest pod pierwiastkiem, x nie

Zdzisiu: i jeszcze jedna funkcja do narysowania, przepraszam, ze tak duzo: f(x)=|x²−9|−2x, nie mogę zrobić tak jak podpunktu a, bo potem nie przesune o −2x? Muszę to całe rozpisaćna przypadki, wyliczyć miejsca zerowe itd. czy jak?

Zdzisiu:

Zdzisiu: pomoże ktoś?

J: dla x²− 9 ≥ 0 rysujesz: f(x) = x² − 2x − 9 dla x² − 9 <0 rysujesz: f(x) = −x² − 2x + 9

5-latek:

Zdzisiu: dzięki, a to co 5−latek pytał czy dobrze przepisałem polecenie?

Zdzisiu:

Zdzisiu: napisze jeszcze raz polecenie: √x²+7 > √2x + 3√2

Zdzisiu: pomożecie?

5-latek: Mi wychodzi inny przedzial Zapytaj Pania Mile a Pania Ete

Zdzisiu: a tu jest jakieś PW czy coś? czy muszą po prostu wejść na ten temat?

5-latek: Zaraz poproszse Mile

Zdzisiu: ok, dzięki

Zdzisiu: ogólnie mam problem z takimi zadaniami jak to lub √x⁴−x² ≤ 4−x², cały czas wychodzą mi złe wyniki, podnoszę obie strony do kwadratu, w tych przypadkach prawą stronę wzorem skróconego mnożenia, a i tak ciągle jest źle

prosta: zbiór rozwiązań twojej nierówności to : x∊(−11,−1)

Zdzisiu: tak mi wyszło, a w odp jest inaczej

prosta: rozwiązanie x∊(−11,−1) obowiązuje w zakresie x≥−3 ( wtedy obie strony nierówności są nieujemne i można podnieść obustronnie do kwadratu) więc x∊<−3, −1) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dla x<−3 lewa strona nierówności jest dodatnia a prawa strona ujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla x∊(−∞,−3)

5-latek: To nie jest tak ze Ty sobie podnosisz do kwadratu Zeby podniesc do potegi drugiej obie strony musisz miec zagwarantowane ze obie strony nierownodsci sa nieujemne

prosta: ogólna odpowiedź to suma tych dwóch przedziałów : x∊( −∞,−1)

Zdzisiu: a jak się znajduje ten przedział, dla którego obie strony są nieujemne?

Zdzisiu: i skąd wiadomo, że akurat wtedy w tym przedziale "dla x<−3 lewa strona nierówności jest dodatnia a prawa strona ujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla x∊(−∞,−3)"

prosta: √81>√2(x+3) lewa strona jest nieujemna prawa będzie nieujemna, gdy x+3≥0 x≥−3 i przy takim założeniu obustronnie podnosimy do kwadratu

Zdzisiu: a skąd wiadomo, że dla x<−3 nierówność jest prawdziwa dla x∊(−∞;3)? bo nie wyliczałeś tego

prosta: po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy : x∊(−11,−1)−−−−−−−> uwzględniamy wcześniejsze założenie i mamy : x∊<−3,−1)

Zdzisiu: czy to po prostu tak z założenia bierzemy?

prosta: dla x<−3 nie trzeba wyliczać; po prawej stronie występuje liczba dodatnia( niezależnie od x) , po lewej ujemna ( bo x<3) . Stąd P>L.

prosta: dodatnia>ujemna

Mila: Czy już wszystko jasne, czy dalej masz problem?

Zdzisiu: rozumiem już, dzięki wielkie! mój bład polegał gównie na tym, że nie wiedziałem, że muszę pierwsze ustalić x, dla których obie strony są nieujemne

Zdzisiu: jednak nie do końca, bo dalej mam problem z tym przykłądem: √x⁴−x² ≤ 4−x²

Zdzisiu: obie strony są dodanie dla −2≤x≤2, ale jak to wylicze to wychodzi x≤√16/7, a to nie zgadza sie z wynikiem

prosta: tutaj dziedzinę najpierw ustalamy, potem tak jak wyżej

Zdzisiu: no to ustaliłem? czy coś źle?

prosta: D: x⁴−x²≥0 x²(x²−1)≥0 x∊(−∞,−1>∪<1,∞) po uwzględnieniu założenia: x∊<−2,−1>∪<1,2>

prosta: a po podniesieniu obustronnym mamy x∊<−√16/7,√16/7>

prosta: pewnie będzie x∊<−√16/7,−1>∪<−1,√16/7>

Zdzisiu: no ok, wyliczyłem, że x ≤ 4√7/7, i ak znaleźć koncowe rozwiązanie?

Zdzisiu: to co napisałeś to rozumiem, ale w odp jest jeszcze 0, które nie mam pojęcia skąd sie bierze

prosta: ....fakt. 0 też należy do dziedziny ....i warto sprawdzić co się dzieje dla zera L=0, P=4

prosta: czyli 0 należy do zbioru rozwiązań

Zdzisiu: ale dlaczego należy, jeżeli lewa strona nie jest równa prawej?

prosta: po zestawieniu prawidłowej dziedziny D; x∊(−∞,−1>∪<1,∞)∪{0} i nierówności x∊<−√16/7,√16/7> mamy odpowiedź

prosta: lewa strona jest mniejsza od prawej

Zdzisiu: czyli 0 należy do dziedziny, ponieważ z pozostałej części dziedziny wynika, że lewa strona jest mniejsza od prawej? takie trochę dziwne, albo nadal czegoś nie rozumiem

Mila: D: x⁴−x²≥0⇔ x²(x²−1)≥0⇔ x²*(x−1)*(x+1)≥0⇔x≤−1 lub x≥1 Ponieważ √.. z definicji jest ≥0 tp prawa strona też musi być dodatnia lub równa 0 , aby nierówność miała sens. 4−x²≥0⇔(2−x)*(2+x)≥0 prabola skierowana w dół.⇔ x∊<−2,2> Nierówność rozważamy w przedziałach: <−2,1>∪<1,2> √x⁴−x²≤4−x² /² x⁴−x²≤16−8x²+x⁴⇔ 7x²−16≤0 /:7

	16
x2−		≤0
	7

	4		4
(x−		) *(x+		)≤0 parabola skierowana do góry
	√7		√7

	4		4
x∊<−		,		>
	√7		√7

Odpowiedź:

	4		4
x∊<−		,−1>∪<1,		>
	√7		√7

=====================

Zdzisiu: Mila też nie uwzględniła tego zera?

Zdzisiu: więc wytłumaczy mi ktoś jak z tym zerem?

prosta: na to wygląda....w dziedzinie też brakuje zera

prosta: przecież wcześniej już było: po zestawieniu prawidłowej dziedziny D; x∊(−∞,−1>∪<1,∞)∪{0} i nierówności x∊<−√16/7,√16/7> mamy odpowiedź

prosta: Mila też nie zauważyła, że 0 należy do dziedziny

Mila: No tak , masz rację, chyba dlatego, że późno. Trzeba jeszcze dołączyć 0. D nierówności: x∊<−2,−1>∪{0}∪<1,2> odp :

	4		4
x∊<−		,−1>∪{0}∪<1,−		>
	√7		√7

Teraz jasne?

Mila: Przecież, to powinieneś zobaczyć na osi, które narysowałam.

Zdzisiu: no widzę to na osi, ale nadal nie rozumiem skąd ono sie bierze, ja bym go na osi nie uwzględnił

Zdzisiu: nie rozumiem skąd 0 w dziedzinie, chyba, że po prostu zero zawsze trzeba sprawdzić osobno?

prosta: do dziedziny należą liczby z przedziałów (−∞,−1) oraz (1,∞) oraz te, dla których wartość pod pierwiastkiem jest równa zero: są to liczby : −1,1,0. Zatem przedziały domykają się a zero należy podać w jednoelementowym zbiorze

prosta: widać to na rysunku Mili....zapełnione kropki dla −1,0,1

Mila: Wyrażenie pod pierwiastkiem nieujemne⇔ x²*( x−1)*(x+1)≥0 i teraz oś, na której zaznaczam 3 miejsca zerowe. x=0, x=1, x=−1 0 jest pierwiastkiem podwójnym o parzystej krotności, zatem masz odbicie na osi. x∊(−∞,−1>∪{0} ∪ <1,∞)

Zdzisiu: Rozumiem dzięki wielkie

Zdzisiu: a moglibyście jeszcze sprawdzić to zadanko? Dla jakich wartości parametru m część wspólna przedziałów: A=(−∞;m³−m> i B=<2m−2;∞) jest zbiorem pustym? m³−m<2m−2 m³−3m+2<0 Dla m=1 wielomian się zeruje. Podzieliłem schematem Hornera przez m−1, wyszło m²−m−2<0, Δ=9 m1=−1 m2=2 zatem m∊(−∞;−1)∪(1;2) W odp jest (−∞;−2)

Zdzisiu: znalazłem, że również dla m=−2 się zeruje, ale przecież nie będę sprawdzał wszystkich liczb, które dany wielomian zerują, skąd to jeszcze wynika, że −2?

Zdzisiu:

Mila: Błędnie rozwiązałeś nierówność. Konretnie, dzielenie przez (m−1) popraw.

Zdzisiu: Schemat Hornera: (m³−3m+2):(m−1) 1 0 −3 2 1 1 −2 0 m²−m−2<0 co jest źle?

Mila: Gdzie tam widzisz (− ) przy drugiej jedynce?

Zdzisiu: no racja, ale teraz mam przedział (−2;1)

Mila: Teraz masz: (m−1)²*(m+2)<0 patrz na oś m=1 jest pierwiastkiem podwójnym ( parzystej kroktności) m<−2

Zdzisiu: (m−1)2*(m+2)≠m²+m−2 przecież

Zdzisiu: (m−1)²*(m+2)≠m²+m−2

Zdzisiu: (m−1)(m+2)=m²+m−2, wtedy nie jest pierwiastkiem parzystej krotności

Mila: To jest Twoja wyjściowa nierówność: m³−m<2m−2 I rozwiązanie podałam dla tej nierówności. Może wypisuj sobie w punktach czynności, bo w połowie zadania zapominasz o co chodzi.

Zdzisiu: skupiłem się na tej po przekształceniu, masz racje, wszystko sie zgadza, dzieki wielkie

Mila: