Wykładnicza, ciągi Kamil: Dla jakich m równanie: 2^x+2^x−1+2^x−2+...=2^2x−1+m ma 2 rozwiązania? Proszę o pomoc

Janek191:: 2^x + 2 ^{x − 1} + 2^{x − 2} + ... = 2^{2 x − 1} + m Lewa strona

	1		1
2x +		* 2x +		*2x + ... − suma nieskończonego ciągu geometrycznego
	2		4

	1
a1 = 2x i q =
	2

więc

	a1		2x
L =		=		= 2*2x = 2 x + 1
	1 − q		1   1 −   2

Mamy więc równanie 2 ^{x + 1} = 2^{2 x − 1}+ m 2*{x + 1} = 0,5*2^2x + m 2*2^x − 0,5*(2^x)² − m = 0 / *( − 2) (2^x)² − 4*2^x + 2 m = 0 t = 2^x > 0 t² − 4 t + 2 m = 0 Δ = 16 − 4*1*2m = 16 − 8 m > 0 ⇔ 16 > 8 m ⇔ m < 2

Kamil: No od czego jest te forum Pomorze ktoś czy nie ?!?!

Kamil: Dziękuje za pomoc Janek191, ktoś za mnie narzeka, wybacz

PW: Lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 2^x i

	1
ilorazie q =		. Suma taka istnieje i jest równa .... wiesz?
	2

PW: Nie odświeżyłem, mój wpis niepotrzebny

Kamil: I tak dziękuje, już wiem o co chodzi

Janek191:: Po − mamy więc równanie II wiersz powinien być taki: 2 ^{x + 1} = 0,5*2^{2 x} + m

5-latek: Moze sie kiedys wybiore na Pomorze. dawno tam nie bylem . Ostatnio w 1981r

Janek191:: A ja byłem kilkanaście lat temu w Kołobrzegu z grupą uczniów

pigor: ..., np. tak : lewa strona to nieskończona suma ciągu geometrycznego jego sum częściowych w którym x∊R i q=2^x−1:2^x= 2^x−1=x= 2_¹= ¹₂<1, więc zbieżna do liczby

	a1		2x
S=		=		=2* 2x i dane równanie przyjmuje
	1−q		1−12

postaci równoważne takie : 2^x+2^x−1+2^x−2+... = 2^2x−1+m ⇔ 2* 2^x= 2^2x−1+m /*2 ⇔ ⇔ 4*2^x=2^2x+2m ⇔ 2^2x−2*2^x*2+ 4=4−2m ⇔ (2^x−2)²=4−2m, a to równanie ma 2 rozwiązania ⇔ 4−2m >0 ⇔ 4 > 2m ⇔ ⇔ m<2 ⇔ m∊(−∞;2) i to tyle . ...

Janek191:: Pigor jak zwykle kolorowo

pigor: ..., nie tylko kolorowo; wybacz, ale nie wiedziałem, ale jak robię, to nie krótko i nie szybko, no i nie standardowo do "swojej" ...

5-latek: Czesc pigor Ta Twoja szuflada to musi byc ze stali pancernej (tyle wytrzymac