geometria kasia: W trójkącie ABC punkty D, E leżą odpowiednio na bokach AB i AC tak, że |AD| : |DB| = 1:2 oraz |AE| : |EC| = 2:1. wyznacz jaka czesc pola trojkata abc stanowi pole czworokata ADFE

Mila: Czy masz odpowiedź? To napisz.

Qulka: a gdzie jest F?

Mila: P=P_ΔABC

	1
PΔADC=s+u=		P
	3

	1
PΔBEC=u+v=		P⇔s+u=u+v⇔
	3

s=v P_ΔEFA=2u poniewaz ΔCEF i ΔEFA mają wspólna wysokość

	1
PΔAFD=		w podobne uzasadnienie
	2

⇔

	1
s=2u+		w
	2

⇔W ΔCAD:

	1		1
u+2u+		w=		P⇔
	2		3

	1		1
3u+		w=		P
	2		3

W ΔEAB:

	1		2
2u+		w+w=		P
	2		3

Mamy układ równań:

	1		1
3u+		w=		P
	2		3

	3		2
2u+		w=		P
	2		3

	1
u=		P
	21

	8
w=		P
	21

	1		5
s=u+		w=		P
	2		21

odp.

	5
PADFE=		PΔABC
	21

========================

Mila: Wygląda na to ,że Kasia czeka tylko na rozwiązanie, zobaczymy czy chociaż go zechce zobaczyć.

pigor: ..., to może ja do swojej "szuflady" dla mojej Mai, np. tak : niech: P_ΔADF=a, P_ΔBDF=2a, P_ΔBCF=c, P_ΔCEF=b, P_ΔAEF=2b,

	Pc.AEFD		a+2b
to z warunków zadania(*)		=		=?
	PΔABC		3a+3b+c

i tw. o stosunku pól ΔΔ o tych samych wysokościach mam :

PΔACD		1		PΔABE		1
	=		i		=		⇔
PΔBCD		2		PΔCBE		2

	3b+a		1		c+b		1
⇔		=		i		=		⇔ c+2a=6b+2a i 3a+2b=2c+2b ⇔
	c+2a		2		3a+2b		2

⇔ c=6b i 3a=2c ⇔ c=6b i 3a=12b ⇔ c=6b i a=4b , stąd i z (*)

Pc.AEFD		4b+2b		6b		2
	=		=		=		,
PΔABC		12b+3b+6b		21b		7

czyli P_c.AEFD= ²₇ P_ΔABC − szukana część podziału. ...

Mila: Witaj pigor, miło, że popatrzyłeś, mam błąd w ostatniej linijce obliczeń.

	1		1		1		8		2		4
s=2u+		w=2*		P+		*		P=		P+		P=
	2		21		2		21		21		21

	6		2
=		P=		P
	21		7

P_ADFE= ²₇ P_ΔABC ==============

pigor: ..., Witam serdecznie, tak myślałem − ja nazywam to błąd nieuwagi, co mnie się zdarza zbyt często; ta 5−tka w liczniku mi się nie podobała i dlatego siadłem do swojego rozwiązania , ...

Mila:

andrzej: ktoś chętny wytłumaczyć pół łopatologicznie dlaczego PΔADF=a, PΔBDF=2a i PΔCEF=b, PΔAEF=2b?

Qba: albo tak: P₁, P₂, P₃ − pola trójkątów 2(P₁ + 2P₁ + P₂) = P₃ +2P₂ ⇒ 6P₁ + 2P₂ = P₃ + 2P₂ ⇒ P₃ = 6P₁ 2(P₁ + P₃) = 2P₁ + P₂ + 2P₂ ⇒ 2P₁ + 2*6P₁ = 2P₁ + 3P₂ ⇒ P₂ = 4P₁

PADFE		2P1 + P2		6P1		2
	=		=		=
PABC		3P1 + 3P2 + P3		21P1		7