Algebra liniowa Saris: 3. Wzbiorze N2 dana jest relacja R = (N2, grR,N2) taka, ze (a, b)R(c, d) ⇔ a+d = b+c. Wykaz, ze R jest relacja równowaznosci i znajdz zbiór ilorazowy. 1. Zwrotność: ∀_a,b∊N : (a,b)R(a,b) ⇒ a+b=b+a − prawda 2. Symetryczność: ∀_a,b,c,d∊N : (a,b)R(c,d) ⇒ (c,d)R(a,d) a+d=b+c ⇒ c+b=a+d − prawda 3. Przechodniość: ∀_{a,b,c,d, e, f∊N} : (a,b)R(c,d) i (c,d)R(e,f) ⇒ (a,b)R(e,f) a+d=b+c , c+f=d+e ⇒ a+f=b+e a+d=b+d+e−f ⇒ a+f=b+e − prawda reprezentant klasy abstrakcji: [(a,b)]:{(c,d)∊N² : (a,b)R(c,d)} zbiór ilorazowy: N²/R={[(a,b)]: (a,b)∊N²} Nie wiem jak to zinterpretować.

Qulka: są to punkty o współrzędnych naturalnych leżące na prostych y=−x +b gdzie b∊N

Qulka: każda prosta jest klasą

Saris: Jak mam do tego dojść? Jeszcze takie pytanko: Mogę pisać tak: ∀_a,b,c,d∊N czy muszę tak: ∀_{(a,b).(c,d)∊N²} czy obie opcje są poprawne?

Saris: Czyli cały zbiór N² będzie zbiorem ilorazowym, jeśli każdy punkt nutaralny na danej prostej jest klasą, a prostych jest nieskończenie wiele.

Qulka: prosta jest klasą , a wszystkie punkty na danej prostej należą do tej jednej klasy to co dzieli na klasy jest wyraz wolny prostej czyli b czyli masz klasę że: b=2 (1,1) b=3 (1,2) i (2,1) b=4 (1,3) (2,2) (3,1) itd

Saris: Czyli cały zbiór N², dzięki. Takie mam teraz zadanko: Niech w zbiorze R² będzie dana relacja "<<" taka, że: (x₁,y₁) << (x₂,y₂) ⇔ ( x₁<x₂ ⋁ ( x₁=x₂ ⋀ y₁<y₂ )) Wykaż, że relacja << określa w zbiorze R² relację porządkujące (jaką?). Czy << określa porządek liniowy w R²? −−− 1. Zwrotność: ∀_{x1,x2,y1,y2∊R} : ( x₁<x₁ ⋁ ( x₁=x₁ ⋀ y₁<y₁ )) − fałsz (y1<y1 nigdy nie będzie prawdziwe) Zatem relacja nie będzie porządku słabego. 1. Asymetryczność: ∀_{x1,x2,y1,y2∊R} : ( x₁<x₂ ⋁ ( x₁=x₂ ⋀ y₁<y₂ )) ⇒ ¬ ( x₂<x₁ ⋁ ( x₂=x₁ ⋀ y₂<y₁ )) − prawda 2. Przechodniość: ∀_{x1,x2,y1,y2,x3,y3∊R} : ( x₁<x₂ ⋁ ( x₁=x₂ ⋀ y₁<y₂ )) ⋀ ( x₂<x₃ ⋁ ( x₂=x₃ ⋀ y₂<y₃ )) ⇒ ( x₁<x₃ ⋁ ( x₁=x₃ ⋀ y₁<y₃ )) − prawda 3. Spójność: ∀_{x1,x2,y1,y2∊R} : ( x₁<x₂ ⋁ ( x₁=x₂ ⋀ y₁<y₂ )) ⋁ ( x₂<x₁ ⋁ ( x₂=x₁ ⋀ y₂<y₁ )) ⋁ (x₁,y₁)=(x₂,y₂) − prawda Zatem relacja jest silnego porządku liniowego. Czy to jest dobrze i czy czegoś nie brakuje?

Qulka: Będę musiała się wczytać, ale dopiero wieczorem jak wrócę do domu

Saris: Taki mam problem, bo nie za bardzo rozumiem elementów max/min i największych najmniejszych. np, niech będzie relacja: (D, | ) [ | − podzielność] D={2,3,4,5,6} m, M − nie istnieją, bo dla każdej liczby są takie, które nie są z nią w relacji. To jest w miarę zrozumiałe. m_min = 2,3,5 M_max=4,5,6 Tak mam napisane w notatkach. Ale, załóżmy że 3 będzie M_max. No to: 2|3, 4|3, 5|3, 6|3 − relacje nie zachodzą, więc są to elementy nieporównywalne 3|3 , 3 jest w relacji z 3, więc warunek jest spełniony i M_max=3. Równie dobrze inne liczby też mogłyby być mmin czy Mmax. Jaki ja tu błąd merytoryczny robię?

PW: Do zadania 1. Mamy do czynienia z parami liczb naturalnych, więc lepiej unikać określenia "prosta". (a, b)R(x, y) ⇔ a + y = b + x ⇔ y − x = b − a (x, y) należy do klasy abstrakcji o reprezentancie (a, b), gdy spełniona jest równość y − x = b − a. Dwie pary należą do tej samej klasy abstrakcji, gdy mają jednakowe różnice między drugim a pierwszym elementem pary. Przykłady klas abstrakcji: [(0, 0)] = {(0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) , ..., (n, n), ...} (różnica 0) [(1, 0)] = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), ..., (n+1, n) , ...} (różnica −1) [(0, 1)] = {(0,1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), ..., (n, n+1), ...} (różnica 1) [(0, 2)] = {(0,2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), ..., (n, n+2), ...} (różnica 2) i tak dalej. Każdej liczbie całkowitej odpowiada jedna klasa abstrakcji, która zawiera nieskończenie wiele elementów. Jak widać zbiór ilorazowy to zbiór złożony z par postaci [0,n] oraz [n, 0], n∊N.

Saris: aha rozumiem, bo żeby były nieporównywalne to 6|3 i 3|6 nie mogą tworzyć spełniać relacji, a 3 dzieli 6, więc 3 nie będzie M_max. O to chodzi tak?

Qulka: Może być kilka elementów Max ale tylko jeden największy i ten musi być w relacji ze wszystkimi

Qulka: Może być kilka elementów Max ale tylko jeden największy i ten musi być w relacji ze wszystkimi

Saris: chodziło mi o to czemu akurat takie są max a inne min, ale już rozumiem chyba.

Saris: W zbiorze liczb zespolonych C okreslona jest nastepujaca relacja S : zSz' , z − z'∊ R+. Sprawdz, ze relacja S porzadkuje zbiór C. Dla zbioru A = {1 + 2i, 2 + 2i, 3 + 2i, 2 + i}  C znajdz elementy wyróznione oraz najliczniejszy łancuch złozony z elementów zbioru A. z=a+bi z'=c+di zwrotność nie zajdzie, bo będzie równe 0. To proste. asymetryczność/przechodniość: no i tu mam problem bo z definicji ∀_{a,b,c,d,(+e,f do przechodniości)} mają zachodzić warunki na takie relacje, tzn. że np dla każdej liczby "a" znajdę takie pozostałe liczby b,c,d, że warunek zostanie spełniony (wtedy ok), czy tzn. że dla każdego zestawienia takich liczb warunek ma być spełniony (wtedy nie ok, bo weźmy a=−2 i c=2 i już będziemy mieć część rzeczywistą <0, więc nie zawiera się w R₊)? Tak, więc jak to leci?

Saris: nie zawiera się w R₊ więc relacja zRz' nie istnieje.

Saris: a dobra jeśli taka relacja jest określona to z założenia a>c, b=d. Głupi ja.

Saris: Ok to wyszło, że jest to porządek silny liniowy. Elementy wyróżnione: m=nie istnieje, bo albo Re<0 albo istnieje Im M=to samo m_min=3+2i, 2+i M−{max}=1+2i, 2+i Łańcuch ma mieć elementy liniowo uporządkowane czyli takie, które są między sobą spójne. No to Łańcuch: {1+2i, 2+2i, 3+2i} Sprawdziłby ktoś?

Qulka: łańcuch w drugą stronę bo ma być R₊

Qulka: jak masz kilka max (min) to na pewno nie będzie największego (najmniejszego)

Saris: jak w drugą stronę?

Qulka: min to 3+2i więc {3+2i, 2+2i, 1+2i} chociaż to zbiór więc to dowolne ale mi się bardziej podoba

Qulka: przywykłam do zapisu schematem

Saris: aa no ok Dzieki.

Saris: To relacje zrozumiałem w dostatecznym stopniu. Czas na struktury, przestrzenie i odwzorowania i diagonalizacje

Qulka: