Przekształcanie płaszczyzny. kqly: Wykaż, że obrazem okręgu o: x²+y²−4x+6y+12=0 w przekształceniu p określonym wzorem

	1		1
P((x,y))=(		+1, 2−		x), gdzie x,y należą do R, jest okrąg. Zbadaj wzajemne
	2		2

położenie okręgu i jego obrazu. Nie mam zielonego pojęcia jak zacząć tę zadanie. Jeśli ktoś byłby tak miły mi wytłumaczyć przynajmniej pierwszy krok byłbym bardzo wdzięczny.

Mila: W przekształceniu chyba masz błąd.

kqly: Faktycznie, przepraszam nie zauważyłem od razu.

	1		1
P((x,y))=(		y+1, 2−		x)
	2		2

yolex: czy w definicji nie brakuje np. jakiegoś x lub y w pierwszej współrzędnej? Okrąg ma środek (1,−3) i promień 1. Przekształć środek − dostaniesz środek obrazu. Sprawdź, czy przekształcenia jest izometrią. Jeśli tak, to promień zostaje 1 i masz z głowy. Jeśli nie, to trzeba spróbować znaleźć skalę, w jakiej zmienia długość odcinka. I wyznaczyć nowy promień. bez prawidłowej definicji nie mogę Ci tego rozwiązać.

kqly: Przekształcenie nie jest izometrią gdyż promień drugiego okręgu wynosi 0,5.

yolex: |A'B'|=√(xb'−xa')²+(yb'−ya')². Podstaw z definicji xb'=0.5yb+1, yb'=2−0.5yb. Tak samo z xa' i ya'. Po wykonaniu działań dostaniesz |A'B'|=0.5AB. Czyli promień okręgu wynosi 0.5*1=0.5 Wyznacz środek nowego okręgu podstawiając współrzędne starego do wzoru na przekształcenie. jak już masz środek i promień, to masz równanie.

yolex: Jeśli się nie pomyliłam, to s'(−0.5,1.5), czyli (x+0.5)²+(y+0.5)²=0.24

Mila: O: x²+y²−4x+6y+12=0 ⇔ (x−2)²−4+(y+3)²−9+12=0 (x−2)²+(y+3)²=1

	y		y
x'=		+1⇔x'−1=		⇔y=2x'−2
	2		2

	x		x
y'=2−		⇔y'−2=−		⇔x=−2y'+4
	2		2

Podstawiam do równania okręgu: (−2y'+4−2)²+(2x'−2+3)²=1 (−2y'+2)²+(2x'+1)²=1

	1
[2(−y+1)]2+[2(x+		)]2=1
	2

	1
4*(y−1)2+4*(x+		=1
	2

	1		1
(x+		)2*(y−1)2=
	2		4

	−1		1
Obrazem okręgu O jest okrąg o środku S'=(1,		) i r=
	2		2

Mila: Błędy w zapisie w dwóch linijkach: Poprawiam.

	1		1
(x+		)2+(y−1)2=
	2		4

	1		1
S'=(−		, 1), r=
	2		2

Posprawdzaj rachunki, bo mamy rozbieżne wyniki z jolex.

yolex: Pierwszy okrąg ma środek (2,−3). Sorry − chyba nie powinnam liczyć w pamięci. Dlaczego po zwykłym przekształceniu środka dostaję S'(−0.5, 1), czyli współrzędne Mili, ale zamienione? które rozwiązanie jest poprawne? Zagadka.

yolex: Zagadka rozwiązana. Mamy dwie alternatywne metody.

yolex: Dalej oblicz odległośc między środkami (wzór na długość odcinka) i porównaj z sumą lub modułem różnicy promieni.

kqly: Dzięki wielkie. Bardzo mi to pomogło.

Mila: