zadanie Blue: Dla jakich wartości parametru k ∊R równanie sin⁶x+cos⁶x=k ma rozwiązanie ? Doprowadziłam to do takiej postaci 3t²−3t+1−k=0, t=sin²x teraz delta ≥0 i zbiór wartości

	1
trzeba uwzględnić... ale jak to dalej obliczyć? z delty wyjdzie k≥
	4

Saizou : proponuję coś takiego: sin⁶x+cos⁶x= (sin²x+cos²x)³−3sin⁴xcos²x−3sin²xcos⁴x= 1−3sin²xcos²x(sin²x+scos²x)= 1−3sin²xcos²x=

	3
1−		*4sin2xcos2x=
	4

	3
1−		sin22x
	4

−1≤sin2x≤1 0≤sin²2x≤1

	3		3
0≥−		sin22x≥−
	4		4

	3		1
1≥1−		sin22x≥
	4		4

	1
zatem k∊[		:1]
	4

J: skoro równanie wyjściowe jest równoważne równaniu: 3sin²x − 3sinx + 1 − k = 0

	1
a to ostatnie ma rozwiązania dla k ≥		, to wyjściowe teź
	4

Eta: .... tak:

	3
sin6x+cos6x= (sin2x+cos2x)3−3sin2x*cos2x(sin2x+cos2x) = 1−		*sin2(2x)
	4

	4
otrzymasz równanie : sin2(2x)=		(1−k)
	3

teraz dokończ.........

Eta:

Blue: Dzięki Saizou, czyli wychodzi na to, że moim przekształceniem nie za bardzo da się to wyliczyć...

Eta:

Gray: Można i Twoim, ale trochę więcej roboty: 3t²−3t+1−k=0 Δ=9−12(1−k)=12k−3

	3−√12k−3		3+√12k−3
I aby miało rozwiązanie to Δ≥0 oraz 0≤		≤1 lub 0≤		≤1
	6		6

	3−√12k−3
1o 0≤		≤1 ⇔ −3≤−√12k−3≤6 ⇔ 3≥√12k−3≥−6 ⇔3≥√12k−3 ⇔ 9≥12k−3 ⇔ 1≥k
	6

	3+√12k−3
2o 0≤		≤1 ⇔ −3≤√12k−3≤3 ⇔ √12k−3≤3 ⇔ 12k−3 ≤9 ⇔ k≤1
	6

Uwzględniając warunek Δ≥0 otrzymujesz: k∊[1/4, 1]

Gray: Usterka drobna w 1^o bez wpływu na wynik.

Blue: Tobie też Eta oczywiście dziękuję

Blue: no właśnie tego chciałam uniknąć, takie działania z pierwiastkami nie są zbyt przyjemne, Dzięki Gray.

Saizou : sin⁶x+cos⁶x=k sin⁶x+(cos²x)³=k sin⁶x+(1−sin²x)³=k sin⁶x+1−3sin²x+3sin⁴x−sin⁶x=k 3sin⁴x−3sin²x+1−k=0 sin²x=t , gdzie t∊[0,1] 3t²−3t+1−k=0 żeby to miało rozwiązanie to Δ≥0

	1
Δ=12k−3≥0⇒k≥
	4

ale nasze rozwiązania muszą być z przedziału 0≤t≤1czyli f(1)≥0 oraz f(0)≥1 oraz 0≤x_w≤1 f(1)=3−3+1−k=1−k≥0⇒k≤1 f(0)=1−k≥0⇒k≤1

	3		1
xw=		=		∊[0,1]
	6		2

	1
wiec ostatecznie k∊[		:1]
	4

Gray: Saizou, z warunków jakie narzuciłeś wynika, że parabola ma dwa pierwiastki w [0,1], a wystarczy, aby miała tam chociaż jeden.

Saizou : faktycznie... wiec trzeba rozbić na przypadki? f(1)≥0 lub f(0)≥0 ?

Kacper: