Macierze Przemysław: Mam problem z takim zadaniem: Znaleźć wzór na n−tą potęgę macierzy A, gdzie: cosx sinx 0 A= −sinx cosx 0 0 0 1 No i mnożę, mnożę i nie widzę tego wzoru. zauważyłem tylko, że to będzie jakoś: a −b 0 Aⁿ= b a 0 0 0 1 a nie potrafię znaleźć wzoru na to a i b.

Gray: A może a=cos(nx), b=sin(nx) ? Sprawdź dla n=2 potem indukcja.

Gray: Tzn. b=−sin(nx).

Przemysław: Dzięki A jak to wywnioskowałeś?

Gray: Miałeś liczby zespolone? (a+ib)(cosx+isinx) = acosx−bsinx + i(asinx+bcosx) ← to jest obrót wektora (a,b) o kąt α=x A w zapisie macierzowym: (a,b)(cosx,sinx) = B(a,b)^T, gdzie B jest macierzą postaci: cosx −sinx sinx cosx Twoja macierz to obrót o kąt −x. Czyli obracając n razy, obracasz o kąt −nx, stąd cos(nx) sin(nx) −sin(nx) cos(nx).

Przemysław: Coś tam miałem z liczb zespolonych ale tego zapisu macierzowego chociażby to sobie nie przypominam Masz może do polecenia jakieś materiały do nauki z liczb zespolonych i algebry z geometrią?

Gray: Dzieło ludzi z Wrocławia jest OK (GiS i spółka) − proste i skuteczne.

Przemysław: Dobra, dzięki

Trivial: To jest macierz obrotu o kąt x. N−ta potęga obraca n razy. Zatem wystarczy wszędzie napisać nx zamiast x.