zadania do matury poziom rozszerzony kets10: Proszę o rozwiązanie podanych zadań: 1. Udowodnij, że 10²k − 1 jest liczbą podzielną przez 11 dla dowolnego k=1,2,3,... 2. Udowodnij, że 10²k+1 + 1 jest liczbą podzielną przez 11 dla dowolnego k=1,2,3,... 3. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n nieparzystej i niepodzielnej przez 5 istnieje liczba naturalna podzielna przez n, w której zapisie dziesiętnym występują tylko dziewiątki. 4. Udowodnij, że jesli w liczbie trzycyfrowej przestawimy dowolnie cyfry i znajdziemy róznicę między liczbą wyjściową a tą powstałą, to wynik będzie podzielny przez dziewięć. (Udowodnij, że jest to prawdziwe dla dowolnej liczby, niekoniecznie trzycyfrowej). Z góry dziękuję

kets10: tam ma byc 10 do potęgi 2k i 10 do potęgi 2k+1

Eve: 1. 10^2k−1=10^k(100−1)=10^k*99=10^k*9*11=W*11, gdzie W∊k 2. podobnie, sam

Eve: 4. 100s+10d+1j−100j+10s+1d=licz 100s+10d+1j=100j+10d+1s=licz i dalej sam