213
gtu: | | z−z1 | |
udowodnij że Re |
| jest okręgiem. Znajdź środek i promień |
| | z−z2 | |
17 lut 15:13
PW: Bez żartów. Re u (jakie by to u nie było) jest liczbą rzeczywistą, interpretowaną jako punkt
osi OX. W jaki sposób zbiór punktów osi może być okręgiem?
17 lut 15:28
gtu: a coś takiego może być okręgiem ?
17 lut 15:32
b.: Nie. Zapewne brakuje ,,= coś''.
17 lut 15:34
gtu: tutaj nic nie brakuje
17 lut 15:37
gtu: =0
sory
17 lut 15:37
gtu: teraz da sie rozwiązać te zadania ?
17 lut 15:42
gtu:
da sie takie cos rozwiązać ?
17 lut 15:57
gtu: ?
17 lut 16:22
PW: Da się ale trochę trzeba pogłówkować. Zacznijmy od tego jak znajduje się iloraz dwóch liczb
zespolonych.
Niech
| | a1 + b1i | |
|
| = a + bi |
| | a2 + b2i | |
(znamy a
1,b
1,a
2,b
2, szukamy a, b).
a
1 + b
1i = (a + bi)(a
2 + b
2i)
a
1 + b
1i = a·a
2−b·b
2 + (ab
2+ba
2)i.
Części rzeczywiste i części urojone obu stron muszą być równe, to znaczy
| | ⎧ | a1 = aa2 − bb2 | |
| | ⎨ | | .
|
| | ⎩ | b1 = ab2 + ba2 | |
Przepiszmy jeszcze raz by wyglądało tak jak jesteśmy przyzwyczajeni:
| | ⎧ | a2a − b2b = a1 | |
| | ⎨ | | .
|
| | ⎩ | b2a +a2b = b1 | |
Układ dwóch równań pierwszego stopnia z niewiadomymi a, b rozwiązujemy metodą wyznaczników:
|a
2 − b
2|
W = = a
22 + b
22 ≠ 0 (jeśli a
2 i b
2 nie są jednocześnie zerami).
|b
2 a
2|
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (a,b), gdyż wyznacznik główny nie jest zerem. Warunek, by
a
2 i b
2 nie b yły jednocześnie zerami jest oczywisty − nie szukamy wyniku dzielenia przez 0.
|a
1 − b
2|
W
a = = a
1a
2 + b
1b
2.
|b
1 a
2 |
| | Wa | | a1a2 + b1b2 | |
a = |
| = |
| . |
| | W | | a22 + b22 | |
Na tym skończę, b liczy się jak wiadomo, a może niepotrzebnie to wszystko piszę, bo wiesz jak
dzieli się liczby zespolone.
Mamy następujący wynik:
| | a1 + b1i | | a1a2 + b1b2 | |
a = Re |
| = |
| . |
| | a2 + b2i | | a22 + b22 | |
Warunek podany w zadaniu
oznacza zatem
a
1a
2 + b
1b
2 = 0,
gdzie a
1 = x − x
1, b
1 = y − y
1, a
2 = x − x
2, b
2 = y − y
2
(oznaczyliśmy z = x + yi, z
1 = x
1 + y
1i, z
2 = x
2 + y
2i).
Już chyba ten okrąg widać ... ale jeszcze nie wieczór.
17 lut 16:50
gtu: Na początku dziękuje za obszerne wyjaśnienie
Próbuję to wszystko analizować
Rozumiem, że jest to ogólny schemat tak ?
Ja próbowałem to robić tak
Skoro z=a+bi to
Tylko czy tak to będzie ?
17 lut 17:16
PW: Teraz to wszystko się pokiełbasi. Bądź uprzejmy przyjąć moje oznaczenia
z = x + yi, z1 = x1 + y1i oraz z2 = x2 + y2i
i zrobić tak jak w 6 ostatnich linijkach mojej wypowiedzi, bo przyjmujesz inne oznaczenia,
kolidujące z moimi.
Ponadto oznaczenia "z iksami i igrekami" są sensowne, bo masz później coś rysować na
płaszczyźnie zespolonej ze zwyczajowymi osiami iksów i igreków.
17 lut 17:35
gtu: Rozumiem
U{x+yi−x1+b1i}{x+yi−x2+b2i)
jeżeli dobrze robię a nie wiem to
po podstawieniu
(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)
coś takiego wyjdzie ?
17 lut 18:03
PW: ... = 0.
Teraz tylko pokazać, że można to przedstawić w postaci
(x − x
0)
2 + (y−y
0)
2 = r
2,
czyli że jest to okrąg. x
0 i y
0 to kwestia oznaczeń, ważne żeby to co zostanie, po
przeniesieniu na prawą było dodatnie.
Popatrzmy na pierwszy iloczyn:
| | x1+x2 | |
(x−x1)(x−x2) = x2 − (x1+x2)x + x1x2 = x2 − 2 |
| x +x1x2 = |
| | 2 | |
| | x1+x2 | | x1+x2 | |
= (x − |
| )2 − ( |
| )2, |
| | 2 | | 2 | |
| | x1+x2 | |
Podobnie dla drugiego iloczynu, dowód, że jest to okrąg o środku ( |
| , ...) i |
| | 2 | |
promieniu ....
Na pewno już sam dokończysz.
17 lut 18:19
gtu: Dzięki
czyli tu nie będzie wyniku typu S=(3,2)
tylko wynik będzie zawiarał x
17 lut 19:01
PW: To są rozważania teoretyczna, środek okręgu zależy od z1 i od z2, których nie znamy przecież,
są to jakieś x1+y1i oraz x2 + y2i.
W zadaniu z 15:32 masz konkretne liczby, to i wynik będzie konkretny (ale nie licz od nowa,
skorzystaj z wyliczeń teoretycznych).
17 lut 19:08
gtu: Powoli zaczynam rozumieć, może do rana ogarnę
Dzięki
17 lut 19:24