Oblicz całki nieoznaczone. asmodeus94: Witam! Mam problem z dwoma całkami, do których nie za bardzo wiem w jaki sposób się zabrać:

	1−x
1) ∫√		dx
	1+x

2) ∫√1−sinx dx

Przemysław: 2) Może spróbuj: sinx=t² cosx=1−t⁴ po przekształceniach zostaje: ∫2t√1−t²dt−∫2t⁵√1−t²dt, można podstawić t=sinb, i przejść na: ∫2sinbcos²b db−∫2sin⁵bcos²b db

Przemysław: 1) można wziąć x=t−1, 1−x=2−t i wychodzi

	2−t
∫√		dt = ∫√2t−1dt ale dalej nie mam pomysłu
	t

J: 1)

	1−x		1−x		x−1		2
t = √		, t2 =		, − t2 =		, −t2 −1 = −
	1+x		1+x		x+1		x+1

	2		−4tdt
x +1 =		,		= dx
	t2+1		(t2+1)2

	−4tdt		t2
... = ∫t*		= −4∫
	(t2+1)2		(t2+1)2

asmodeus94: Bardzo dziękuję J i poproszę jeszcze o naprowadzenie do 2), bo jakoś sposób Przemysława do mnie nie przemawia.

J: spróbuj tak:

	1
a) 1 − sinx = t sinx = 1 − t , x = arcsin(1 − t) , dx =		dt
	√1−(t−1)2

albo:

	1
b) sinx = t x = arcsint , dx =		dt
	√1−t2

asmodeus94: Próbuję i próbuję i jakoś końca nie widać, a najlepsze jest to, że wolframalpha podaje całkiem inny wynik niż jest w odpowiedziach. Prawdopodobnie również jest słuszny, tylko nieprzekształcony do najprostszej postaci. Wyniki z odpowiedzi są następujące: http://latex.codecogs.com/png.latex?%5C%5C1%29%5C%3A%5Cint%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-x%7D%7B1+x%7D%7Ddx%20%3D%20arcsin%5C%3Ax+%5Csqrt%7B1-x%5E%7B2%7D%7D+C%5C%5C%202%29%5C%3A%5Cint%20%5Csqrt%7B1-sin%5C%3Ax%7Ddx%3D%5Cpm2%5Csqrt%7B1+sin%5C%3Ax%7D+C Poprosiłbym kogoś o obliczenie tego do końca, może być wyrywkowo, w sumie nie ma to większego znaczenia.

asmodeus94: up

asmodeus94: up

ZKS: Napisałbyś z którą masz problem z a) czy z b) to można by było popróbować pomóc.

asmodeus94: Zarowno z 1. jak i 2. Tylko te ze zbioru zadan sa dla mnie problematyczne.

ZKS: Dokończę sposób podany przez J.

	t2
−4 ∫		dt
	(t2 + 1)2

t = tg(u) dt = [tg²(u) + 1]du

	tg2(u)
−4 ∫		dt = −4u + 4 ∫ cos2(u)du = −4u + sin(2u) + 2u + C
	tg2(u) + 1

	2t
−2arctg(t) + sin[2arctg(t)] + C = −2arctg(t) +		+ C
	t2 + 1

Wystarczy teraz wrócić do początkowego podstawienia. Dla sprawdzenie możesz policzyć pochodną czy otrzymasz wynik pod całkowy. Tylko według mnie dużo łatwiejszy sposób to

	√1 − x		1 − x
∫		dx = ∫		dx = ∫ (1 − x) * [arcsin(x)]'dx =
	√1 + x		√1 − x2

(1 − x)arcsin(x) + ∫ arcsin(x)dx = (1 − x)arcsin(x) + xarcsin(x) + √1 − x² + C = arcsin(x) + √1 − x² + C

ZKS: Inny sposób na całkę drugą.

	|cos(x)|
∫ √1 − sin(x)dx = ∫		dx
	√1 + sin(x)

sin(x) = u cos(x)dx = du

	du
± ∫		= ±2√1 + u + C = ±2√1 + sin(x) + C
	√1 + u

asmodeus94: Bardzo Ci dziękuję, nie rozumiem jednak (2. całka) co się tam na samym początku stało. Tego przekształcenia, że pojawiła się wartość bezwzględna z cos(x).

asmodeus94: Dobra, już rozumiem