Gray: Mogę spróbować. Wykres funkcji takiej jak Twoja, tj. przekształcającej podzbiór R
2 w R jest
pewną powierzchnią w przestrzeni R
3. Wyobraź sobie, że poruszasz się windą po osi Oz.
Startujesz z parteru (z=0), i mijasz kolejne piętra; jak w Harrym Potterze − również piętra
nicałkowite
.
Ten fragment wykresu (krzywa) który widzisz z kolejnych pięter patrząc prosto przed siebie to
właśnie warstwice.
Przypuśćmy dla ułatwienia, że Twoja funkcja to f(x,y)=x
2+y
2. Wówczas warstwice to krzywe
x
2+y
2=z, gdzie z jest parametrem (to właśnie numer piętra).
Dla z=0 (parter), jest to x
2+y
2=0, czyli punkt (0,0). Jadąc wyżej, dla z>0 masz x
2+y
2=z,
czyli okrąg o środku w (0,0) i promieniu
√z. Im wyżej jesteś (tj. im z większe) tym promień
większy.
W przypadku funkcji f(x,y)=
√y−2x+1, warstwice to krzywe
√y−2x+1=z. Widać, że będą one istniały tylko dla z≥0.
Dla z=0 jest to prosta y−2x+1=0, czyli y=2x−1.
Dla z>0 mamy:
√y−2x+1=z ⇔ y−2x+1=z
2 ⇔ y=2x−1+z
2 ← na wysokości z jest to prosta y=2x−1+z
2.