Analiza matematyczna - n-ta pochodna Kali: Dla funkcji f(x) = 1 / (1−2x) obliczyc pochodą f⁽100) (0). Hej czy moglby ktos pomoc mi rozwiazac to zadanie probowalem to robic z wykorzystaniem ogolnego wzoru na szereg MacLaurina i wyszedl mi ciąg 1+2*x/1! + 8 * x²/2! + 48 * x³/3! + 384 * x⁴/4!...... = I tu jest problem poniewaz jesli chodzi o x skacze on xⁿ jesli chodzi o silnie mamy tu n! zatem mamy jakby szereg E xⁿ/n! niestety nie jest to poprawne gdyz zostaje jeszcze roznie skaczaca stała 1−−> 2 −−> 8 −−> 48 −−> 384. Nie wiem jak to przekształcic zeby obliczyc setna pochodna w punkcie zero. Z gory dziekuje za kazda pomoc

Janek191: Wstawiasz 0 za x i wyjdzie suma równa 1 .

Kali: Wlasnie prawdopodobnie poprawna odpowiedz to: f⁽100) (0) = 2¹00 * 100! wyprowadzona z ogolnego wzoru MacLaurina E (f⁽n) (0) * x ⁿ) / n! Nie wiem czy to jest poprawne rozwiazanie ale ktos na tablicy przeksztalcil 1/(1−2x) w szereg E 2ⁿ * xⁿ Nie wiem skad wzial 2ⁿ Nastepnie komentarz: W obu szeregach wyrazy przy n−tej potedze x sa takie same (f⁽n) (0)) / n! = 2ⁿ I stad wzial sie ten powyzszy wynik

Kali: Probowalem to rozpisac na szereg jak wyzej pokazalem i sie zatrzymuje na zamianie ciagu w szereg

Kali: Juz doszedlem te stale sie skracaja ladnie z silniami dajac piekny szereg Xⁿ + 2ⁿ

Gray: Można i wprost: łatwo i przyjemnie: f(x)=(1−2x)⁻¹ f'(x)=(−1)(−2)(1−2x)⁻² f"(x)=(−1)(−2)(−2)²(1−2x)⁻³ f'''(x)=(−1)(−2)(−3)(−2)³(1−2x)⁻⁴ .... zatem widać, że f⁽ⁿ⁾(x)=(−1)ⁿn!(−2)ⁿ(1−2x)⁻ⁿ⁻¹ czyli f⁽¹⁰⁰⁾(0)=(−1)¹⁰⁰100!(−2)¹⁰⁰ = 100!2¹⁰⁰

Kali: a to nie jest cos w stylu zwyklego rozwiniecie Taylora? tyle, ze wlasnie ze skroconymi silniami?

Gray: No nie, bo z Taylora to samo wychodzi przy okazji. Mnie bardziej podoba się tamta metoda; ta moj jest bardziej elementarna (nie wymaga znajomości wzoru Taylora i kilku innych twierdzeń). Z tym Taylorem to delikatna sprawa: można podać przykład wyjątkowo złośliwej funkcji, dla której f⁽ⁿ⁾(0)=0 dla wszystkich n∊N, a która nie jest funkcją zerową (czyli "jej" wzór Taylora nie jest... jej jej wzorem Taylora).