Określanie ilości pierwiastków Phoebe Campbell: Jest jakiś sposób na szybkie określenie ilości pierwiastków wyrażenia? np. x⁴ + 2x³ − 8x² + 18x −9 Liczenie wszystkich przypadków dla p/q gdzie np. p to 36, a q to 92 byłoby dość.. czasochłonne

PW: ... i w dodatku może nie dać odpowiedzi, bo pierwiastki bywają niewymierne.

Eta: x⁴−2x³+3x² +4x³−8x²+12x −3x²+6x−9 x²(x²−2x+3) +4x(x²−2x+3) −3(x²−2x+3)= (x²−2x+3)(x²+4x−3)

zombi: Ilość pierwiastków może nam się zmieniać ze względu czy rozpatrujemy ten wielomian w liczbach rzeczywistych czy zespolonych. Jeśli chodzi o liczby zespolone, to z zasadniczego twierdzenia algebry, wielomian ntego stopnia ma n pierwiastków. Jeśli natomiast rozpatrujemy płaszczyznę rzeczywistą to ilość k pierwiastków wielomianu stopnia n, leży w przedziale 0 ≤ k ≤ n. Ale ciężko patrząc jedynie na wielomian odgadnąć ile posiada on pierwiastków, ba można powiedzieć, że jest to niewykonalne. Jeśli chodzi o wielomiany stopnia 2,3,4 posiadamy wzory odpowiednio na deltę, wzory Cardano i wzory Ferrari. Dla wyższych stopni ogólne wzory nie istnieją, dlatego szuka się pierwiastków metodami numerycznymi, czyli przybliżając wartości tego wielomianu.

gtu: z głowy ?

zombi: Mówisz o moim ekstra długim elaboracie czy to odnośnie pytania Phoebe?

Phoebe Campbell: Dzięki za odpowiedz, a w szczególności za Twój elaborat Zombi

AS: W swoich starych notatkach znalazłem taki oto sposób na znajdowanie przedziału zawierającego pierwiastki równania. Przykład x³ − 10*x − 5 = 0 Pierwiastki rzeczywisye zawarte są w przedziale 0 ≤ XI ≤ 1 + ⁿ√a/ao gdzie a − max|ujemny współczynnik równania| n − wskaźnik pierwszego ujemnego współczynnika W podanym przykładzie ao a1 a2 a3 1 0 −10 −5 czyli a = |−10| = 10 , m = 2 , ao = 1 0 ≤ xi ≤ 1 + √10 ≈ 4,2 (pierwiastki dodatnie) Chcąc obliczyć przedział dla pierwiastków ujemnych x zastępujemy przez −x f(−x) = (−x)³− 10*(−x) − 5 = 0 => x³ − 10*x + 5 = 0 ao = 1 , a = |−10| = 10 , m = 2 0 ≤ −xi ≤ 1 + √10 ≈ 4,2 −4,2 ≤ xi ≤ 0 (pierwiastki ujemne)

Phoebe Campbell: Ciekawy sposób AS. Dzięki.

ICSP: http://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_znak%C3%B3w_Kartezjusza

Gray: AS pokazał, jak znaleźć przedział zawierający wszystkie pierwiastki wielomianu; kolega Phoebe Campbell pytał jednak o coś innego. Znane są przykłady dla których wyznaczone przedziały nie zawierają żadnych pierwiastków badanego wielomianu. Do wyznaczania liczby pierwiastków rzeczywistych wielomianu w danym przedziale służy tzw. ciąg Sturma (nic lepszego od ponad 100 lat nikt nie wymyślił i właśnie tę metodą stosuje się w praktyce), ale to nie jest szybkie. Kolega pytał o "szybki" sposób, a takiego w przypadku ogólnym nie ma.

AS: Ilość pierwiastków omówił już Zombi,dlatego nie wałkowałem tego wątku. Tworzenie ciągu Sturma jest faktycznie uciążliwe.