Trójkąt wpisany w koło. Podzielność liczb. Funkcje trygonometryczne. Analiza piotrek: Witam, mam parę problemów. Proszę o pomoc. 1) Dany jest trójkąt równoboczny ABC wpisany w okrąg. Punkt P leży na krótszym łuku AC. Wykaż, że |PB|=|PA|+|PC|. 2)Wykaż, że liczba 10¹3 + 19³ − 2 jest podzielna przez 9. 3)Wyznacz współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu y=x² −2x + 1 położonego najbliżej punktu A = (4,0)

	1
4) Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f(x) =		.
	3cosx +5

Są to zadania z dwóch arkuszy maturalnych(niestety nie wiem jakiego wydawnictwa).

Eve: 2) suma cyfr podzielna przez 9: 10³+(10+9)³−2= 10³+(10+9)(100−90+81)−2=10³+(10+9)(90+1)−2= 10³+10*90+10+9*90+9−2⇒1+9+1+8+1+9−2=27⇒9/27⇒liczba podzielna przez 9

Eve:

PW: −1 ≤ cosx ≤ 1 (i każda wartość z przedziału [−1, 1] jest osiągana) −3 ≤ 3cosx ≤ 3 −3+5 ≤ 3cosx +5 ≤ 3 + 5 (1) 2≤ 3cosx +5 ≤ 8

	1		1
(2)		≥ 3cosx + 5 ≥		.
	2		8

	1		1
Odpowiedź: Zbiorem wartości funkcji f jest przedział [		,		].
	8		2

Uwaga: Wnioskowanie (1) ⇔ (2) jest możliwe, gdyż wyrażenia występujące po każdej ze stron w podwójnej nierówności (1) są dodatnie. Dowód mógłby wyglądać tak: Jeżeli 0 ≤ a ≤ b, to fakt, że b ≥ a b − a ≥ 0 jest równoważny

	b − a
		≥ 0
	ab

	b		a
		−		≥ 0
	ab		ab

	1		1
		−		≥ 0
	a		b

	1		1
		≤		.
	b		a

Tadeusz: a²=b²+d²−2bdcos60^o ⇒ a²=b²+d²−bd a²=c²+d²−2cdcos60^o ⇒ a²=c²+d²−cd dalej dla Ciebie (rozpatrz oba przypadki)

PW: Poprawka do zadania 4

	1		1		1
(2)		≥		≥
	2		3cosx +5		8

(miały być odwrotności każdej ze stron nierówności, a w środkowej części nie odwróciłem w zapale edycji).

piotrek: Dziękuję za pomoc. Tylko mam pytanie co do zadania numer 3. Bo właśnie chodzi o to, że rysunek zrobiłem. Tylko nie wiem jak ten punkt wyznaczyć.

piotrek: tak właśnie myślałem, że zjadłeś 1

Ania: rozwiązanie do zadania 3 wyznaczamy styczną k do paraboli w punkcie (x₀, f(x₀)) f'(x)=2x−2 zatem f'(x₀)=2x₀ −2 Podstawiamy do równania stycznej y−y₀=f'(x₀)(x−x₀) otrzymujemy po przekształceniach k: y=(2x₀−2)x−x₀² +1 Prosta styczna k iprosta przechodząca przez punkt A muszą być prostopadłe, aby odległość była najmniejsza Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkt A i punkt (x₀, f(x₀)) 0=4a+b i x₀² −2x₀ +1=x₀ a+b x₀² −2x₀ +1=(x₀ −4)a

	(x0 −1)2
a=		przy czym x0 ≠4
	x0 −4

Z warunku na prostopadłość prostych

(x0 −1)2
	*(2x0 −2) =−1
x0 −4

Po przekształceniach mamy wielomian 2x₀³ −6x₀² +7x₀−6=0 Pierwiastkiem wielomianu jest 2, stąd (x₀−2)(2x₀²−2x₀+3)=0 x₀=2 oraz Δ<0, więc jedynym rozwiązaniem jest 2 f(x₀)=f(2)=1 Odpowiedź to punkt (2,1)