CIAG
l4ser: Proszę o sprawdzenie takiego dowodu.
Zad.
Pokazać, że ciąg określony rekurencyjnie jest ograniczony.
a
1 = 7
a
n+1 =
√6 + an
D−d:
Ciąg jest ograniczony <=> Ciag jest ograniczony z dołu i z góry.
(1) Ciąg jest oczywiście ograniczony z dołu przez 0, bo wszystkie wyrazy są dodatnie.
(2) Wykazemy ze ciag jest ograniczony z góry.
W tym celu pokażemy najpierw że ciag jest malejący, czyli a
n > a
n+1 (INDUKCJA)
a.) n = 1: a
2 =
√13 <
√16 < 4 < 7 = a
1 oczywiste
b.) zał. ind. gdyby a
n > a
n+1 to => a
n+1 > a
n+2
ale a
n > a
n+1 / +6
6 + a
n > 6 + a
n+1 / sqrt
√6 + an >
√6 + an+1
a
n+1 > a
n+2
Zatem udowodniliśmy że ciąg ten jest malejący i stąd PIERWSZY wyraz ciągu musi być największy.
Skoro pierwszy wyraz ciągu to 7, to ograniczeniem z góry są wszystkie liczby > 7 np. 8
Zatem: Ciąg ten jest ograniczony, bo jest ograniczony z dołu przez 0 i z góry przez 8.
Czy taki dowód jest wystarczający
