licz rzecz geometrykz: "Wykaż, że jeśli liczby a i b ą mniejsze od 1, to ab + 1 > a +b" więc próbuję w ten sposób: założenia: a<1 b<1 ab+1>a+b ab−a−b+1>0 a(b−1)−(b−1)>0 a(b−1)>(b−1) / : (b−1), b<1 więc (b−1)<0 a<1 Poprawnie, błędnie? jak oceniacie? wskazówki/propozycje mile widziane.

geometrykz: kurczę chyba zrobiłem odwrotnie.. nie wiem, nie umiem

Qulka: może być albo a(b−1)−(b−1)>0 (a−1)(b−1)>0 iloczyn dwóch ujemnych jest dodatni

Eta: z założenia a<1 ⇒ a−1<0 i b<1 ⇒ b−1<0 ....... a(b−1)−(b−1)>0 (b−1)(a−1)>0 z założenia obydwa czynniki <0 zatem.....

geometrykz: czyli mój dowód również by przeszedł? kurczę nie zauważyłem, że mogę to tak zrobić x) to jest coś na zasadzie x(k−b)−(k−b)=0 ⇒ (x−1)(k−b)=0 mam rację? dzięki.

Qulka: tak na tej zasadzie

geometrykz: ok, dzięki wam x) szybko i rzeczowo, mogę robić dalej

geometrykz: @Qulka, @Eta, jakbyście mogli jeszcze tu spojrzeć.. wstawiam zdjęcie bo trochę dużo pisania, a mniej zbędnych czynności to więcej zadań zrobionych. http://imageshack.com/a/img901/2788/PdablR.jpg "Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁵ − n jest podzielna przez 30" co dalej z tym zrobić?

Eta: W Twoim dowodzie konieczny jest na początku komentarz: Jeżeli taka nierówność zachodzi, to przekształcam ją równoważnie : : otrzymujesz −−− nierówność prawdziwą zgodnie z założeniem zatem : taka nierówność zachodzi 2 sposób: a<1 ⇒ a−1<0 i b<1 ⇒ b−1<0 (a−1)*(b−1) >0 ⇒ ab−a−b+1>0 ⇒ ab+1>a+b c.n.u

geometrykz: przy okazji to zadanie jest dziwne. podstawiając n=1 otrzymuję 1−1=0, a to mi nie wygląda na liczbę podzielną przez 30. w każdym razie − jak teraz stwierdzić, czy owa liczba jest podzielna przez 30?

geometrykz: zawsze trzeba pisać takie komentarze? muszę wyrobić nawyk.

geometrykz: dobra, chyba mam: jeśli korzystam z tego, co trzeba udowodnić, wychodząc od tego, muszę to napisać "Jeżeli taka nierówność zachodzi, to przekształcam ją równoważnie" zgadza się?

Eta: n⁵−n= n(n²−1)(n²+1)= (n−1)*n(n+1)(n²−4+5)=(n−1)*n(n+1)*[(n−2)(n+2)+5]= = (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5*(n−1)n*(n+1) dodaj teraz odpowiedni komentarz........

Eta: Dokładnie tak

geometrykz: idę z psem, za chwilkę wrócę i sprawdzę, Eta

pigor: ..., no proszę , a nie tak dawno "moje" kolorki nie były zbyt ...

Eta: === ===

geometrykz: 5(n−1)n(n+1) to iloczyn liczby 5 oraz trzy kolejne liczby naturalne więc dzieli się na 2, 3 oraz 5, z czego wynika również podzielność przez 30. (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) to kolejne pięć liczb naturalnych − składnik dzieli się na 2, 3 oraz 5, z czego wynika podzielność przez 30. w takim razie całe to wyrażenie jest podzielne przez 30. i jak?

Eta:

geometrykz: to załatwione, lecę dalej z zadaniami.

geometrykz: dziękuję ∞

geometrykz: "wykaż, że jeżeli x²y²+z²=2xyz, to z=xy" "jeżeli taka nierówność zachodzi, to przekształcam ją równoważnie" x²y²+z²=2xyz x²x²−2xyz+z²=0 (xy−z)²=0 (z−z)⁰ co należało udowodnić tak będzie dobrze, Eta?

5-latek: Taka rownosc zachodzi

geometrykz: słuszna uwaga

geometrykz: a co w przypadku "uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b zachodzi nierówność a²+9b²≥6ab"? wystarczy tak: a,b ∊ lR a²+9b²≥6ab a²−6ab+9b²≥0 (a−3b)²≥0 Kwadrat różnicy dowolnych liczb rzeczywistych zawsze jest liczbą nieujemną. będzie ok? strasznie się boję, że zapomnę o czymś na maturze

Eta: : : : (xy−z)²=0 ⇒ z= xy c.n.u

Qulka: jeszcze że nierówności są równoważne i prawdziwość ostatniej implikuje pierwszą

Eta: Gdzie początkowy komentarz? : Jeżeli taka .......

geometrykz: Kwadrat różnicy dowolnych liczb rzeczywistych zawsze jest liczbą nieujemną; nierówności są równoważne, a prawdziwość ostatniej nierówności implikuje prawdziwość nierówności wyjściowej. coś takiego? kurczę, to jeszcze matematyka czy już polski?

geometrykz: Eta, czyli tutaj też muszę pisać? nie ma opcji żeby dojść od a,b ∊ R do tego równania. cholera, na maturze to napiszę to chyba jeszcze w kodowaniu, na wszelki, żeby zauważyli PRZY KAŻDYM DOWODZIE należy to pisać? każdym każdym?

Eta: Taaaaaaaaaak

geometrykz: ok, zapamiętam sobie. obiecuję! nie dość, że boję się planimetrii, optymalizacji i stereometrii, to teraz jeszcze będę się bał dowodzenia, hihi

Eta: 2 sposób Prawdą jest,że (a−3b)²≥0 ⇔ a²−6ab+9b²≥0 ⇔ a²+9b²≥6ab c.n.u 3 sposób z nierówności między średnimi am−gm

a2+9b2
	≥ √a2*9b2= 3ab ⇒ a2+9b2≥6ab c.n.u
2

Qulka: albo: co dowieść należało czyli c.d.n.

geometrykz: 2 sposób to tak jakby wyjście od końca i dojście do początku, wydaje się być trudniejszy, niż ten "mój" a trzeci to w ogóle jakaś czarna magia

Eta:

Eta: Wykaż ,że dla a, b>0

a+b
	≥√ab −−−−−−−− to jest właśnie nierówność między średnimi
2

arytmetyczną i geometryczną

geometrykz: pierwsze słyszę

geometrykz: ale wierzę na słowo

geometrykz: mam ciekawe zadanko i niebardzo wiem jak je zrobić x( "udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c takich, że a+b+c=3 prawdziwa jest nierówność a²+b²+c²≥3"

geometrykz: (a²+b²+c²)(a²+b²+c²)≥9

ZKS: Ciekawe raczej trywialne. Wykorzystując nierówność pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczna dostajemy

√a2 + b2 + c2		a + b + c
	≥
√3		3

√a2 + b2 + c2		3
	≥		/ 2
√3		3

a2 + b2 + c2
	≥ 1
3

a² + b² + c² ≥ 3

geometrykz: a aa ale ja nie umiem wykorzystywać tej nierówności dzięki tak czy inaczej, zaraz o tym sobie poczytam i może ogarnę, bo ja zacząłem wszystko podnosić do kwadratu i wyszło mi tego na pół kartki

ICSP: Zauważ, że dla dowolnych rzeczywistych a,b,c zachodzi nierówność : (a+b+c)² ≥ 3(ab + bc + ac). Mamy zatem :

	2
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ac) ≥ (a + b + c)2 −		(a + b + c)2 =
	3

	1
=		(a + b + c)2 = 3
	2

□

ICSP:

	1
=		(a + b + c)2 = 3
	3

geometrykz: Δ Δ Δ dzięki ZKS i ICSP