Płaszczyzna damian: Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt: A(−1,2,−5) i równoległej do płaszczyzny 2x+3y+z+10=0 i oblicz odległość punktu A od tej płaszczyzny. Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem

damian: Może ktoś wie jak to zrobić..? Bardzo proszę o pomoc..

damian: Może jednak?

damian: .

AS: Szukane równanie płaszczyzny: 2x + 3y + z + D = 0 Ponieważ punkt A(−1,2,−5) ma należeć do płaszczyzny musi spełniać równanie tej płaszczyzny. 2*(−1) + 3*2 + (−5) + D = 0 ⇒ D = 1 szukane równanie płaszczyzny: 2x + 3y + z + 1 = 0 Odległość punktu P(xo,yo,zo) od płaszczyzny A*x + B*y + C*z + D = 0 wyraża się wzorem

	|A*xo + B*yo + C*zo + D|
d =
	√A2 + B2 + C2

	|2*(−1) + 3*2 − 5 + 10|
d =
	√22 + 32 + 12

	|−2 + 6 − 5 + 10|		9
d =		=
	√14		√14

damian: dziękuje bardzo za pomoc

AS: Podaję jeszcze inny sposób obliczenia odległości punktu od płaszczyzny. Pomija on podany wzór. Plan postępowania. 1. Napisać równanie prostej prostopadłej do danej płaszczyzny i przechodzącej przez podany punkt. 2. Określić punkt przebicia tej prostej z płaszczyzną 3. Obliczyć odległość dwóch punktów. Dane: 2x + 3y + z + 10 = 0 , A(−1,2,−5) Równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez A

x + 1		y − 2		z + 5
	=		=		[1]
a		b		c

Z warunku prostopadłości mamy: a/2 = b/3 = z/1 = t ⇒ a = 2*t , b = 3*t , c = t Podstawiając do [1] mamy

x + 1		y − 2		z + 5
	=		=		czyli
2*t		3*t		t

x + 1		y − 2		z + 5
	=		=		[2]
2		3		1

Wyliczam punkt przebicia tej prostej z płaszczyzną x = 2*t − 1 , y = 3*t + 2 , z = t − 5 wstawiam do równania płaszczyzny 2*(2*t − 1) + 3*(3*t − 2) + t − 5 + 10 = 0 4*t − 2 + 9*t + 6 + t − 5 + 10 = 0 → 14*t + 9 = 0 → t = −9/14 Wyznaczam współrzędne punktu przebicia x = 2*(−9/14) − 1 = −32/14 , y = 3*(−9/14) + 2 = 1/14 , z = −9/14 − 5 = −79/14 B(−32/14 , 1/14 , −79/14) Odległość AB d = √(x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)² d² = (−1 + 32/14)² + (2 − 1/14)² + (−5 + 79/14)² = (−18/14)² + (27/14)² + (9/14)² d² = (324 + 729 + 81)/14² = 1134/14² d = √1134/14 = √81*14/14 = 9*√14/14