a pilne!: Wykazać, że W = {w e ℛ[x]₂: 2w(−x) + (4x+1)w''(x) ≡ xw'(x+1) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ℛ[x]₂. Podać bazę i wymiar tej podprzestrzeni. pierwszą część zadania mam zrobioną, chodzi mi o bazę i wymiar w(x)= ax² + bx + c w'(x)= 2ax + b w''(x)= 2a podstawiam 2(ax² −bx +c) + (4x+1)2a ≡ x(2ax + 2a +b) 2ax² −2bx +2c + 8xa +8a ≡ 2ax² +2ax +bx 6ax −3bx +2c + 8a ≡ 0 dobrze? a jeśli tak, to jak sobie z tym poradzić wyliczyć c?

Eve: tak, potem wstawić do w(x)

pilne!: ale jeśli wyliczę c, to nie przeszkadza, że są tam x?

Eve: przecież w(x) to wielomiany

pilne!: 2c ≡ −8a + 6ax + 3bx w(x)= ax²+ bx+ c= ax² +bx −8a + 6ax + 3bx = a(x² +6x −8) + b(4x) B_w ={(x² +6x −8),(4x)} dim W= 2 ?

pilne!: ma myć − 6ax, pomyłka

Eve: tak

pilne!: dziękuje

Eve:

Gray: Oj.

Gray: Z warunku 6ax −3bx +2c + 8a ≡ 0 wynika, że: 6a−3b=0 i 2c+8a=0, czyli b=2a oraz c=−4a. To oznacza, że elementy z W są postaci: ax²+2ax−4a = a(x²+2x−4). Tym samym baza W to {x→ x²+2x−4}, a dimW=1.

pilne!: aaaa ok, dzięki