Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby a i b są tego samego znaku, to kuba: Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby a i b są tego samego znaku, to ^a3_b + ^b3_a ≥ a² + b². Mnożę przez (ab), który jest dodatni, tak wynika z treści zadania. Wtedy otrzymuję a⁴+b⁴≥ab(a²+b²) Mogę to później zapisać jako: (a²+b²)² − 2(ab)² ≥ ab(a²+b²) Co się równa: (a²+b²)² ≥ ab(a+b)² I od tego momentu nie bardzo wiem, co mogę tutaj zrobić, żeby się uprościło ( chyba, że się gdzieś na górze pomyliłem ) Proszę o pomoc

Frost: no to tak: a⁴+2a²b²+b⁴−a³b−2a²b²−b³a≥0 a³(a−b)−b³(a−b)≥0 (a³−b³)(a−b)≥0 (a−b)(a²+ab+b²)(a−b)≥0 (a−b)²(a²+ab+b²)≥0 każdy z nawiasów jest zawsze ≥0.

PW: Trochę inaczej:

	a
Niech		= k > 0, wówczas
	b

	a3		b3		1		1
(1)		+		= k·k2b +		b2 = (k3+		)b2.
	b		a		k		k

Jak łatwo udowodnić

	1
(2) k3 +		≥ k2 +1.
	k

Istotnie, nierówność (2) jest równoważna nierowności k⁴ − k³ − k + 1 ≥ 0 k³(k−1) − (k−1) ≥ 0 (k−1)(k³ − 1) ≥ 0 (k−1)²(k²+k+1) ≥ 0 a ostatnia nierowność jest oczywista. Zastosowanie (2) do (1) daje

	a3		b3
		+		≥ (k2 +1)b2 = k2b2 + b2 = a2 + b2.
	b		a