Oblicz granicę olaqwerta: lim x→0 (sin4x)/ (e^8x −1)

M:

#a:

	sin(4x)
lim x→0
	e8x−1

	0
Po podstawieniu za x=0 dostajemy symbol nieoznaczony [		]
	0

Więc reguła de l' Hospitala

	(sin(4x))'		4cos(4x)		4		1
lim x→0		=lim x→0		=		=
	(e8x−1)'		8e8x		8		2

Mariusz:

	1	sin(4x)		8x
limx→0			*
	2	4x		e8x−1

1		sin(4x)		8x
	(limx→0		)(limx→0		)
2		4x		e8x−1

1		sin(4x)		1
	(limx→0		)
2		4x		e8x−1   limx→0   8x

	sin(4x)
limx→0		, t = 4x
	4x

	sin(t)
limt→0
	t

Tutaj stosujemy twierdzenie o trzech ciągach a właściwie funkcjach Potrzebne nierówności możemy uzyskać z porównania dwóch pól trójkąta i jednego wycinka kołowego

	e8x−1
limx→0		, t = 8x
	8x

	et−1
limt→0
	t

	1
Tutaj dobrym pomysłem jest sprowadzenie do granicy limx→∞(1+		)x
	x

	et−1
limt→0
	t

	1
et−1 =
	u

	1
et = 1 +
	u

Tutaj należałoby rozważyć dwa przypadki 1) gdy t→0⁺ 2) gdy t→0⁻

	1   u
limu→∞
	1   ln(1+ )   u

	1
limu→∞
	1   uln(1+ )   u

	1
limu→∞
	1   ln((1+ )u)   u

1
1   limu→∞ln((1+ )u)   u

1
1   ln(limu→∞(1+ )u)   u

1
ln(e)

1
1

Mamy zatem

1		sin(4x)		1		1
	(limx→0		)		=		*1*1
2		4x		e8x−1   limx→0   8x		2

	1	sin(4x)		8x		1
limx→0			*		=
	2	4x		e8x−1		2

#a: To za mądre jak dla mnie