matematykaszkolna.pl
Oblicz granicę olaqwerta: lim x→0 (sin4x)/ (e8x −1)
9 lut 20:02
M:
1 sie 06:02
#a:
 sin(4x) 
lim x→0

 e8x−1 
 0 
Po podstawieniu za x=0 dostajemy symbol nieoznaczony [

]
 0 
Więc reguła de l' Hospitala
 (sin(4x))' 4cos(4x) 4 1 
lim x→0

=lim x→0

=

=

 (e8x−1)' 8e8x 8 2 
1 sie 11:25
Mariusz:
 1sin(4x) 8x 
limx→0


*

 24x e8x−1 
1 sin(4x) 8x 

(limx→0

)(limx→0

)
2 4x e8x−1 
1 sin(4x) 1 

(limx→0

)

2 4x 
 e8x−1 
limx→0

 8x 
 
 sin(4x) 
limx→0

, t = 4x
 4x 
 sin(t) 
limt→0

 t 
Tutaj stosujemy twierdzenie o trzech ciągach a właściwie funkcjach Potrzebne nierówności możemy uzyskać z porównania dwóch pól trójkąta i jednego wycinka kołowego
 e8x−1 
limx→0

, t = 8x
 8x 
 et−1 
limt→0

 t 
 1 
Tutaj dobrym pomysłem jest sprowadzenie do granicy limx→(1+

)x
 x 
 et−1 
limt→0

 t 
 1 
et−1 =

 u 
 1 
et = 1 +

 u 
Tutaj należałoby rozważyć dwa przypadki 1) gdy t→0+ 2) gdy t→0
 
1 

u 
 
limu→

 
 1 
ln(1+

)
 u 
 
 1 
limu→

 
 1 
uln(1+

)
 u 
 
 1 
limu→

 
 1 
ln((1+

)u)
 u 
 
1 

 1 
limu→ln((1+

)u)
 u 
 
1 

 1 
ln(limu→(1+

)u)
 u 
 
1 

ln(e) 
1 

1 
Mamy zatem
1 sin(4x) 1 1 

(limx→0

)

=

*1*1
2 4x 
 e8x−1 
limx→0

 8x 
 2 
 1sin(4x) 8x 1 
limx→0


*

=

 24x e8x−1 2 
1 sie 12:45
#a: To za mądre jak dla mnie emotka
1 sie 13:05