funkcje 5-latek: Zadanie : Uzasadnij ze dla funkcji f odwzorowujacej zbior skonczony w siebie f roznowaetosciowa ⇔f jest " na

Maslanek: To, że funkcja działa w siebie znaczy, że f:X→X X jest skończony Zbiór X zapiszemy w tej postaci: {a_i: i=1,...,k} Założmy, że f jest różnowartościowa. Pokażemy, że f jest "na". Niech m∊X. Przypuśćmy, że nie istnieje a_m∊X taki, że f(a_m)=m. Wobec tego, że f jest róznowartościowa wynika, że #(f(X))≤#(X). X jest skończony, f jest różnowartościowa, więc #X=#f(X) − stąd mamy "na" Założmy teraz, że f jest "na". Wobec tego dla każdego m∊X istnieje a_m taki, że f(a_m)=m Stąd #f(X)≥#X Ale f(X)={m∊X: ∃a_m∊X f(a_m)=m}. Stąd #f(X)≤#X (bo f(X) jest podzbiorem X) Czyli #f(X)=#X i f musi być różnowartościowa (zbiory są równoliczne − istnieje bijekcja)

5-latek:

5-latek: dziekuje Maslanek A czy mozesz to napisac dla 1 klasisty z liceum (poczatki funkcji Chociaz to zadanie jest oznaczone jako trudne

Maslanek: A to Ty nie jesteś na studiach? xD Wtedy to byłby taki bardzo prosty dowód ćwiczeniowy xD

5-latek: Chociaz juz dawno jestem po szkole to na studiach nie bylem

Maslanek: Dobra, i tak głupotę napisałem w tym dowodzie W druga stronę: f jest suriekcją, więc #X≥#f(X)=#X (bo f(X)=X) Z drugiej strony #X≤#X=#f(X) (tak głupio wręcz...)

5-latek: OK

Maslanek: To przypuśćmy, że w pierwszej części też jest nieprzemyślane Reszta jest całkiem spoko Chociaż też mi się nie podoba ostatnie sformułowanie

5-latek: W sumie mialem nie robic tych zadan trudnych ale moze jeszce dopytam Godzia mam nadzieje ze sie nie pogniewasz o to

Maslanek: Nie, spoko Po prostu nie lubię takich prostych dowodów xD W zasadzie jest tak: w prawo: skoro f jest różnowartościowa to #f(X)=#X (zbiory są skończone i muszą mieć tyle samo elementów) w lewo: skoro f jest suriekcją, to f(X)≥X, czyli #f(X)≥#X Ale wobec skończoności X i tego, że f jest funkcją (tj. kazdemu elementowi przypisuje dokładnie jeden element przeciwdziedziny) mamy, że #X≥#f(X) Czyli #X=#f(X). X ma k elementów. f(X) zawiera się w X (przeciwdziedzinie) z definicji i ma tyle samo elementów. Czyli f(X)=X

Godzio: Co tam?

5-latek: Chodzi o to uzasadnienie (ale proste w miare mozliwosci

Godzio: Może trochę bardziej rozjaśnię, bo nie za bardzo wiem jak to uprościć. Funkcja różnowartościowa to taka, że dla każdych x₁,x₂ różnych od siebie mamy f(x₁) ≠ f(x₂), a skoro tak jest, to zbiór f(X) (czyli to co otrzymamy podstawiając kolejne x) ma tyle samo elementów co X (bo dla każdego x mamy inną wartość, więc i inny element) x₁ → y₁, ...., x_n → y_n ⇒ |Y| = |f(X)| = |X| (każdy ma n − elementów) Funkcja "na" to taka, która przyjmuje wszystkie swoje wartości (przeciwdziedzinę) czyli dla każdego y znajdziemy takiego x, że y = f(x). Niech f: X → X, X − skończony, X = {x₁,x₂,...,x_k−1,x_k,x_k+1,...,x_n} No to załóżmy, że funkcja jest różnowartościowa zatem i w X i w f(X) mamy tyle samo elementów. Załóżmy, że funkcja nie jest "na", zatem istnieje takie y, dla którego nie znajdziemy żadnego x. Niech będzie to y = x_k. Stąd zbiór wartości jest postaci: X = {x₁,x₂,....,x_k−1,x_k,...,x_n}, ale ten zbiór ma n−1 elementów, a f(X) ma n elementów. Sprzeczność

5-latek: fajnie . zaraz muszse jechac do brata i jak wroce to CI napiszse na forum czy to zrozumialem

5-latek: czesc najgorszse dla mnie sa te dowody nie wprost Poza tym wiem kiedy funkcja jest roznowartortosciowa , kiedy jest na ,kiedy jest w ,ale brak nauczyciela (tak jak w szkole odbija sie