takie tam Saris: Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji w całej dziedzinie:

	1   sin( )   x
f(x) =		dla x≠0
	x

1 dla x=0 Wg ten sinus nawet nie ma granicy, więc nie jest ani ciągła ani różniczkowalna. Jak to wykazać formalnie?

Combo: Moim zdaniem można obliczyć granicę limx→0⁺ i lim x→0⁻ z tej funkcji przy użyciu tw. o 3 ciągach

Godzio: Ciągłość:

	1		1
Niech xn =		oraz yn =		, oczywiście xn,yn → 0 wówczas
	nπ		π   + 2nπ 2

f(x_n) = sin(nπ) * nπ = 0 * nπ = 0, a wtedy f(x_n) − f(0) = 0 − 1 = − 1 → −1 f(y_n) = ... analogicznie Różne granice, granica nie istnieje. Różniczkowalność: Przypomnijmy, że jeżeli funkcja ma pochodną w x₀, to również jest tam ciągła. Załóżmy nie wprost, że funkcja jest różniczkowalna w x = 0 zatem jest ciągła w x = 0. Sprzeczność.

Combo:

	−1		1
Godzio ,można tez ograniczyć an=		bn=f(x) zaś cn=		? Tak mi sie wydaje
	x		x

Godzio: Tylko co to da, skoro a_n i c_n nie mają granicy w 0 ?

Combo: Jop,głupi ja

Saris: czemu f(0)=−1

Combo: f(0)=1

Godzio: f(x_n) − f(0) = 0 − 1 Nie napisałem, że f(0) = −1

Saris: 1*

Godzio: Bo tak masz określoną funkcję.

Saris: aaaaaaaaa, a ja na ten sinus patrże.

Saris: To jest z Heinego?

Godzio: Właściwie x_n starczy, Żeby funkcja była ciągła musi być f(x) − f(0) → 0 dla x → 0, a tak nie jest dla pewnego ciągu

Godzio: Tak.

Saris: Godzio, a czemu róznica tego f(xn)−f(0)? Z czego to wynika? Z tego, że lim n−>∞ f(xn)=g=f(x₀) znaczy x−>x₀. coś takiego.. nie wiem jak to ująć.

Godzio: A kiedy funkcja jest ciągła w x₀?

Saris: kiedy granica lewostronna i prawostronna są sobie równe względem tego x₀.

Saris: a nie zle to warunek na istnienie granicy

Godzio: No i dodatkowo, że te granice są równe wartości funkcji w tym punkcie! Równoważne f(x) ciągła w x₀ gdy f(x) − f(x₀) → 0 dla x → x₀

Saris: Zeby byla ciagla w x₀ kiedy granica funkcji w tym punkcie jest równa f(x₀)

Godzio: No właśnie, stąd badam granicę f(x_n) − f(0)

Saris: Mhm, ale to jednocześnie jest warunek istnienia pochodnej w x₀ prawda? A można by zrobić to zadanie badając iloraz różnicowy z lewej i prawej strony o ile się da?

Godzio: Ale z faktu nie istnienia pochodnej nie wynika nieciągłość.

Saris: Prawda, odwrotnie by to działało. Jakby istniała pochodna. Dzięki.