Rózniczkowalność Maslanek: Różniczkowalność funkcji: Problem: Niech K(x₀, r) ⊂ D ⊂ R^k dla pewnego r>0, k∊N, k≥2, f→R. Zakładamy, że dla każdego i=1,...,k f'_xi istnieją w K(x₀, r) i są ciągłe w x₀. Czy wtedy na pewno f jest ciągła w x₀? Istnieje dowolna pochodna kierunkowa w x₀? Twierdzenie o warunku dostatecznym różniczkowalności mówi, że funkcja ma posiadać wszystkie pochodne cząstkowe i muszą one być ciągłe na otoczeniu x₀. Tutaj mamy założoną tylko ciągłośc w x₀. Jak to jest?

Maslanek: Hop do góry Co by się nie zgubiło

Maslanek: Hop

Trivial: Moja wiedza jest lekko zardzewiała, ale skoro G(x) jest ciągła w x₀, to czy nie oznacza to, że istnieje pewne otoczenie punktu x₀, w którym funkcja G jest ciągła?

Maslanek: Tak Ale nikt nigdy tego nie powiedział głośno, więc się nad tym nie zastanawiałem Dowód: Niech (X,d), (Y,r) przestrzenie metryczne i f: X→Y będzie ciągła w x₀. Pokażemy, że istnieje pewne otoczenie x₀ takie, że f jest ciągła w tym otoczeniu. Niech m>0. Z ciągłości w x₀ istnieje p takie, że dla każdego x∊X, jeśli d(x,x₀)<p, to r(f(x),

	m
f(x0)<		.
	2

Zauważmy, że K(x₀, p) jest otwarta.

	m
Niech y∊K(x0, p). Wtedy r(f(y), f(x0))<
	2

	m
Oraz: dla każdego x∊K(y, p−d(x0,y)) ⇒ x∊K(x0, p) ⇒ r(f(x), f(x0)) <
	2

Dla wszystkich x∊K(y, p−d(x₀,y)) mamy więc:

	m		m
r(f(y), f(x))≤r(f(y),f(x0)+r(f(x0),f(x))<		+		=m
	2		2

Z dowolności m wynika, że f jest ciągła w y. Z dowolności y wynika, że f jest ciągła w pewnym otoczeniu x₀.

Maslanek: Dzięki za pomoc xD

Trivial: Wystarczyło pomyśleć. Good job. Good night.

Maslanek: Okej... To pojawia się następne naturalne pytanie. Czy jeśli funkcja jest ciągła i różniczkowalna w x₀, to czy jest też różniczkowalna w pewnym otoczeniu x₀?

Maslanek: Jestem dobry w odpowiadaniu na swoje pytania, więc odpowiem sobie http://pl.sci.matematyka.narkive.com/kR4xyt82/funkcja-rozniczkowalna