trygonometria ***tryg***:

	√3
√sin2x2=
	2

proszę o sprawdzenie, czy tak powinno wyglądac rozw i czy jest w 100% poprawne, bo obawiam się że zapis nie jest ani wynik

	x
zał: sin2		≥0
	2

x≥0

	√3
rozw: √sin2x2=		I2
	2

	x		3
sin2		=		I√
	2		4

	x		√3		x		√3
sin		=		v −sin		=
	2		2		2		2

x		π		x		π
	=		+ 2kπ −		=		+2kπ
2		3		2		3

	2		2
x=		π+4kπ x=−		π+4kπ
	3		3

x		π		x		π
	=π−		+ 2kπ −		=π−		+2kπ
2		3		2		3

	4		4
x=		π+4kπ x=−		π+4kπ
	3		3

Eta: ok i k€ C Jak widzę to nie potrzebujesz "korepetytorów" Tak trzymaj Powodzenia.

Basia: rozwiązanie jest w porządku, ale założenia nie sin^2x₂ ≥ 0 dla każdego x∊R (jako druga potęga) no i można trochę prościej √a² = |a|

	√3
√sin2x2 = |sinx2| =
	2

dalej tak jak robiłaś

tryg: hmm w odpowiedziach podali

	2
x=		π+4kπ
	3

	4
x=		π+4kπ
	3

	8
x=		π+4kπ
	3

	10
x=		π+4kπ
	3

czy mam źle czy to poprostu inny sposób zapisania tego samego?

Eta: ^x₂= −²₃π= 2π−²₃π= ⁶₃π−²₃π= ⁴₃π to x = ⁸₃π+ 4k*π podobnie: ^x₂= − ^π₃= 2π− ^π₃= ⁶₃π− ^π₃= ⁵₃π to x = ¹⁰₃π + 4k*π Twoja poprzednia odp tez jest poprawna , tylko podałaś kąt x_o −−−− jako ujemny a w odp. w książce podano x_o −−− jako kąt dodatni

tryg: dziękuję Eto, a jakie założenia zrobić do: √4cos²x+4cosx+1=1 zał: 4cos²x+4cosx+1≥0

	π		π
Δ=0 cosx=−0,5 ⇔ cosx=0,5? x=		+2kπ v x=−		+2kπ
	3		3

i co dalej?

tryg: ponawiam pytanie

Basia: stąd wniosek, że dla każdego t∊R 4t²+4t+1≥0 ⇒ dla każdego x∊R 4cos²x+4cosx+1 ≥ 0 czyli x∊R można też tak: 4cos²x+4cosx+1 = (2cosx+1)² ≥ 0 dla każdego x∊R (jak każda druga (parzysta) potęga)

Basia: niepotrzebnie rozwiązujesz równania cosx=±1 nie masz równania 4cos^x+4cosx+1=0 i ono jest Ci do niczego niepotrzebne dalej tak jak w poprzednim przykładzie podnosisz obustronnie do kwadratu o masz 4cos²x+4cosx+1=1 4cos²x+4cosx=0 4cosx(cosx+1)=0 cosx=0 lub cosx=−1

	π
x0 =		lub x0=π
	2

	π
x =		+2kπ lub x=π+2kπ = (2k+1)π
	2

tryg: sinx+cos²x=0,25 sinx+1−sin²x−0,25=0 −sin²x+sinx+0,75=0 /*4 −4sin²x+4sinx+3=0 Δ=64 sinx=³₂ v sinx=−0,5 i co dalej?

	3
czy powinnam jakoś zredukować to		? czy zapisać to jako:
	2

	π		π
sinx=sin(π+		)=sin
	6		6

i dalej:

	π		π
sinx=sin		v sin(−x)=sin
	6		6

	π		π		π
x=		+2kπ v −x=		+2kπ I*(−1) ⇔ x=−		+2kπ
	6		6		6

	5π		5π
x=		+2kπ v x=−		+2kπ
	6		6

a w odpowiedziach podali:

	7π		π
x=		+2kπ v x=−		+2kπ
	6		6

Godzio: inaczej: sinx−>t −t²+t+0,75=0 Δ=1+3=4 √Δ=2

	−1−2
t1=		=1,5 (odżucamy bo sin jest w przedziale <−1,1>
	−2

	−1+2
t2=		=−0,5
	−2

Godzio:

	1
sinx=−
	2

	π		7π
x=−		+2kπ v x=		+2kπ
	6		6

Godzio: zrozumiałe ?

tryg: mam problem z sytuacjami kiedy wychodzi mi funkcja ujemna. np. sinx=−¹₂ tak jak tu. Czy mam korzystać wtedy ze wzorów redukcyjnych, czy patrzeć na wykres? Tylko, że gdy rysuje wykres funkcji sinus okazuje się, że punkty leżą tak, ze nie umiem ich dokładnie opisać, ale z

	π		7π
pewnością coś więcej niż π i mniej niż 2π, a tu mamy w odpowiedzi −		i		... jak
	6		6

Ty to odczytujesz?

tryg: ponawiam?

Godzio: już rozpisuje jak jest

Godzio: no to tak, jeśli mamy sinx=−a a∊<−1,1> to zapisujemy kąt jaki by był dla a tyle że ze znakiem przeciwnym: x=−x_o+2kπ v x=π− (−x_o) +2kπ jeśli cosx=−a a∊<−1,1> to zapisujemy to tak: x=180−x_o+2kπ v x= − (180−x_o) +2kπ nie wiem czy tak sie poprawnie zapisuje, widać to na wykresie ale tak można zapamiętać bo to jest zawsze prawda tg=−a v ctg=−a x=−x_o+kπ

Bogdan: sinx = −sinα ⇒ sinx = sin(−α) lub sinx = sin(π + α) cosx = −cosα ⇒ cosx = cos(π − α) lub cosx = cos(π + α) tgx = −tgα ⇒ tgx = tg(−α) lub tgx = tg(2π − α) ctgx = −ctgα ⇒ ctgx = ctg(−α) lub ctgx = ctg(2π − α)

Bogdan:

	1		π		π
Np. sinx = −		⇒ sinx = −sin		⇒ sinx = sin(−		)
	2		6		6

	π		π
x = −		+ k*2π lub x = π +		+ k*2π
	6		6

tryg: hmm to wynika z wykresów tych funkcji jakichś wzorów redukcyjnych albo własności czy muszę się tego bezmyślnie nauczyć na pamięć?

tryg: ponawiam...

tryg: nie chce zakładać nowego wątku, podbijam

Godzio: wiem że to wynika z wykresu ale czy ze wzorów to nie wiem

Bogdan: I z jednego i z drugiego, a mówiąc ściśle, z własności funkcji trygonometrycznych. Zależności, które przedstawiłem wyżej to nic innego, jak wzory redukcyjne.

tryg: hmm Bogdanie, nie wygląda mi to na typowe wzory redukcyjne, mógłbyś coś więcej, jaśniej napisać? z której ćwiartki te wzory?

tryg: podbijam, wiem, że jestem denerwująca, ale to przez chęć pojęcia tego

tryg: patrzę na wykres i np. powiedziałabym tak: czy to poprawne? dla sinx: sin(−x) i sin(−π+x) bo czytałam oba z przedziału od (−π,0) dla cos: cos(π−x) i cos(π+x) dla tg: tg(−x) dla ctg: ctg(x) dlaczego nie widze drugich możliwości dla tg i ctg?

tryg: oczywiście te wartości są dla sytuacji kiedy kąt będzie ujemny. np. sinx=−0,5

tryg: podbijam

Bogdan: W kwestii formalnej, kąt nie może być ujemny, bo kąt to część płaszczyzny. Ujemna lub dodatnia może być miara kąta. Wracając do sedna rozmowy. Zależności: sinx = −sinα ⇒ sinx = sin(−α) lub sinx = sin(π + α) cosx = −cosα ⇒ cosx = cos(π − α) lub cosx = cos(π + α) tgx = −tgα ⇒ tgx = tg(−α) lub tgx = tg(2π − α) ctgx = −ctgα ⇒ ctgx = ctg(−α) lub ctgx = ctg(2π − α) wynikają ze znaku funkcji trygonometrycznej. Jeśli np. rozpatrujemy −sinx, to widzimy sinx w III lub w IV ćwiartce: −sinα = sin(2π − α) = sin(−) lub −sinx = sin(π + α) Podobnie czytamy: −cosα, −tgα, −ctα. Zależności te opisują wzory redukcyjne.