zespolone anja: rozwiazac w dziedzinie zespolonej rownania: z³=8i z⁴=16 z⁶+64=0

AS: postać trygonometryczna liczby zespolonej Jeżeli Z = a + b*i to postać trygonometryczna wygląda

	a		b
Z = r*(cosφ + i*sinφ ) gdzie r = √a2 + b2 ,cosφ =		, sinφ =
	r		r

Opieram się na wzorach Moivre'a Zⁿ = rⁿ*(cosφ + i*sinφ )ⁿ = rⁿ*(cos(n*φ ) + i*sin(n*φ ))

	φ +2*k*π		φ +2*k*π
n√Z = n√r(cos		+ i*sin		) gdzie k = 0,1,2,...,n−1
	n		n

W naszym przypadku ma zastosowanie wzór drugi. Z³ = 8*i = 8*(0 + 1*i) = 8*(cos90^o + i*sin90^o)

	90o + k*360o		90o + k*360o
Z = 2*(cos(		) + i*sin(		) dla k = 0,1,2
	3		3

k = 0 , Z0 = 2*(cos30^o + i*sin30^o) = 2*(√3/2 + i*1/2} = √3 + i k = 1 , Z1 = 2*(cos150^o + i*sin150^o) = 2*(−√3/2 + i*1/2) = −√3 + i k = 2 , Z2 = 2*(cos270^o + i*sin270^o) = 2*(0 + i*(−1) = −2*i

AS: Podobnie proszę zrobić następne przykłady z⁴ = 16 = 16*(0 + 1i) = 16*(cos90^o + i*sin90^o) , k = 0,1,2,3 z⁶ = −64 = 64*(−1 + 0*i) = 64*(cos180^o + i*sin180^o) , k = 0,1,2,4,5

anja: ok pierwszy przyklad zrobilem i rozumiem ale dlaczego w drugim jest z⁴ = 16 = 16*(0 + 1i) skad to i w nawiasie przeciez nie ma tam 16i tylko jest samo 16..

anja: jakby to pomnozyc przez −1 to wtedy po przeksztalceniach by wyszlo w drugim przykladzie −z⁴=16i, czy tak mozna

anja: chyba powinno byc osatecznie tak ze: z⁴=16=16(1+0*i)

AS: Oczywiście przeoczyłem i przestawiłem dane. Prawidłowo: z⁴ = 16 = 16*(1 + 0*i) = 16*(cos0^o + i*sin0^o)

anja: ok dzieki a czy moglbys mi jeszcze przyblizyc zagadnienie nastepujace: korzystajac ze wzorow de moivrea i newtona wyrazic poprzez sinα i cosα nastepujae funkce: sin3α, cos3α, sin4α, cos4α, sin6α, cos5α.. bardzo prosze o pomoc

AS: Na podstawie tw.M. (cosα + i*sinα)³ = cos(3*α) + i*sin(3*α) cos³α + 3*cos²α*i*sinα + 3*cosα*i²*sin²α + i³*sin³α = cos(3*α) + i*sin(3*α) cos³α + 3*sinα*cos²α*i + 3*sin²α*cosα*(−1) + (−i)*sin³α = cos(3*α) + i*sin(3*α) [cos³α − 3*cosα*(1 − cos²α)] + [3*sinα*(1 − sin²α) − sin³α]*i = cos(3*α) + i*sin(3*α) [4*cos³α − 3*cosα] + [3*sinα − 4* sin³α]*i = cos(3*α) + i*sin(3*α) porównując części rzeczywiste i urojone mamy cos(3*α) = 4*cos³α − 3*cos(α) , sin(3*α) = 3*sin(α) − 4*sin³(α) W podobny sposób dochodzi się do związków sin(4*α) = 8*cos³(α)*sin(α) − 4*cos(α)*sin(α) cos(4*α) = 8*cos⁴(α) − 8*cos²(α) + 1