Wykaż, że funkcja jest iniekcją Viv: Jak udowodnić, że f jest iniekcją?

	π
f(x)={		arcsinx dla x∊[0,1] i x dla x∊R\[0,1]}
	2

Wziąłem x₁ i x₂ należące do odpowiednich przedziałów i wyszedłem z tezy f(x₁)=f(x₂)

π
	arcsinx1=x2 i jak stąd dojść do tego, że x1=x2?
2

Viv: ?

Godzio:

	2
A nie miało być przypadkiem		?
	π

Viv:

	π
tak, miało. dla		faktycznie nie jest iniekcja. to jak, Godzio?
	2

Godzio: Czy taka metoda da jakiś skutek? Nie. Co wiemy? Funkcja arcsinx oraz x są funkcjami różnowartościowymi oraz rosnącymi, zatem jeżeli f(x) będzie ciągła no to mamy, że jest injekcją.

	π		π
f(0) =		* arcsin0 =		* 0 = 0
	2		2

lim_x→0⁻f(x) = lim_x→0⁻x = 0 Stąd f(x) jest ciągła w 0. Analogicznie badamy w 1:

	π		2		π
f(1) =		arcsin1 =		*		= 1
	2		π		2

lim_x→1⁺f(x) = lim_x→1⁺x = 1 Stąd mamy, że f(x) jest injekcją

Godzio:

	π		2
I przepisałem z		, a rozwiązałem dla		, popraw sobie
	2		π

Godzio: Funkcja ściśle rosnąca/malejąca i ciągła jest różnowartościowa. Dowód. Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest ściśle rosnąca i ciągła. Załóżmy nie wprost, że funkcja nie jest różnowartościowa tzn. Istnieją x₁ i x₂ różne od siebie takie, że f(x₁) = f(x₂). Ponownie bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że x₁ > x₂, ale funkcja jest rosnąca więc f(x₁) > f(x₂), a zatem f(x₁) ≠ f(x₂) co przeczy założeniu, że f(x₁) = f(x₂) sprzeczność.

Viv: Ok, dzięki wielkie

Viv: Super, naprawdę wielkie dzięki za potwierdzenie

Godzio: