Godzio:
0 1 b
a a b
0 1 a
1. Sprawdźmy kiedy dimW = 1
Ano wtedy, kiedy dwa wektory są przeskalowanym trzecim wektorem:
np. (0,1,b) = m * (a,a,b) i (0,1,a) = k * (a,a,b)
0 = am ⇒ a = 0 lub m = 0
1 = am ⇒ sprzeczność bo jak a lub m są zerem to am = 0 ≠ 1 nie ma dalej co liczyć
b = mb
(a,a,b) = m * (0,1,b)
(0,1,b) = k * (0,1,b)
a = 0
a = m ⇒ m = 0
b = mb ⇒ b = 0
i
0 = 0
1 = k
b = bk ⇒ b ∊ R
Stąd dla a = b = 0 dimW = 1
Teraz sprawdźmy kiedy dimW = 2. Oznacza to, że kombinacja dwóch wektorów daje trzeci i
dodatkowo te dwa wektory są niezależne od siebie.
m * (0,1,b) + k *(a,a,b) = (0,1,a)
m + ak = 0 ⇒ ak = − m
m + ak = 1 ⇒ m − m = 1 ⇒ 0 = 1 sprzeczność
bm + bk = a
Inaczej:
m * (0,1,a) + k * (a,a,b) = (0,1,b)
0 + ak = 0 ⇒ ak = 0 ⇒ a = 0 lub k = 0
m + ak = 1 ⇒ m = 1
am + bk = b ⇒ a + bk = b
1
o a = 0
bk = b ⇒ k = 1 lub b = 0
2
o k = 0
a = b
Stąd mamy, że dla a = 0 i b ≠ 0 (bo dla b = 0 mamy liniową zależność) lub a = b ≠ 0
mamy dimW = 2
I ostatnia kombinacja:
m * (0,1,b) + k * (0,1,a) = (a,a,b)
a = 0
m + k = a ⇒ m = −k
bm + ak = b ⇒ bm = b ⇒ b ∊ R lub m = 1, a podobny przypadek już był.
No i ostatni przypadek dimW = 3 gdy wyznacznik 3 x 3 jest niezerowy
0 1 b
a a b = −a(a − b) ≠ 0 dla a ≠ 0 i a ≠ b
0 1 a
Ostatecznie:
| | ⎧ | 1 gdy a = b = 0 | |
| dimW = | ⎨ | 2 gdy (a = 0 i b ≠ 0) lub (a = b ≠ 0) |
|
| | ⎩ | 3 gdy a ≠ 0 i a ≠ b | |
Można liczyć tylko na wyznacznikach, możliwe, że jest jakiś łatwiejszy sposób
