Czy zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych? Panix: Czy zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych?

Janek191: Nie.

panix : Dlaczego?

Dziadek Mróz: Bo liczbami rzeczywistymi są również liczby wymierne.

Dziadek Mróz: tfu, niewymierne

Janek191: Poczytaj sobie: Liczby rzeczywiste − Wikipedia

Gray: Dziadku Mrozie, ta argumentacja nie jest dobra: np. liczb wymiernych jest tyle co naturalnych.

J: Gray ma rację , ...to zbiory równoliczne ( paradoks d'Alamberta)

Gray: Klasycznie, dowodzi się to nie wprost Zakłada się, że liczb rzeczywistych jest przeliczalnie wiele. To oznacza, że można je wszystkie ustawić w ciąg: a₁,a₂,a₃,... Następnie konstruuje się liczbę, która jest różna od nich wszystkich (np. w liczbie a_n zmieniamy n−tą cyfrę zwiększając ją o jeden, lub zastępując zerem, w przypadku, gdy jest ona dziewiątką; tak otrzymana liczba jest różna od wszystkich wypisanych − mamy więc sprzeczność).