Działania na zbiorach - udowodnij. SuperM4n: Witam, Mam problem z następującym zadaniem. Sprawdzić czy (A∪B∪C)−(A∪C)=C dla każdych zbiorów A,B,C. Uzasadnić swoje stwierdzenie. Znam definicję sumy i różnicy. Rozpisałem do tego: (A∪B∪C)−(A∪C) ⇔(x∊A ⋀ x∊B ⋀ x∊C)⋀(x∉ A ⋁ x∉B) Nie wiem co z tym dalej zrobić, bo nigdzie nie widziałem praw rachunków zdań dla tylu wartości. Czy czy ktoś mógłby mi pomóc?

Eve: pomyliłeś sumę z iloczynem

SuperM4n: Fakt, źle po prostu zapisałem, we własnych notatkach mam poprawnie. Powinno być: (A∪B∪C)−(A∪C) ⇔(x∊A ⋁ x∊B ⋁ x∊C)⋀(x∉ A ⋁ x∉B) Niemniej nadal nie wiem, co robić dalej.

wmboczek: pewnie w 2gim nawiasie powinno być A∪B aby nie było banalne w oryginalnym przykładzie podaj kontrprzykład − zbiory jednoelementowe dla modyfikacji taki kontrprzykład, że C⊂A

SuperM4n: Fakt, mój błąd. Drugi już. Przepraszam bardzo. (A∪B∪C)−(A∪B) ⇔(x∊A ⋁ x∊B ⋁ x∊C)⋀(x∉ A ⋁ x∉B).

SuperM4n: A nie da się tego rozwiązać poprzez rozpisanie dalej tego, co zacząłem? Wolałbym się tego nauczyć.

wmboczek: Możesz logiką tylko popatrz na wzory de Morgana − błąd w drugim nawiasie powinno być ⋀. Dalej rozdzielność alternatywy wzgl koniunkcji i zostanie x∊C∧x∉A∧x∉B co nie jest tożsame z x∉C (gdy C ma pkt wspólne z A lub B, czyli na przykład gdy C⊂A)

SuperM4n: Dlaczego mam tutaj zastosować wzory de Morgana? Przecież to jest odejmowanie zbiorów, nigdzie nie ma dopełnienia drugiego zbioru. Gdyby było jak mówisz, to również nie mógłbym zastosować rozdzielność alternatywy względem koniunkcji, ponieważ tu by były same koniunkcje. Mógłbyś to rozpisać krok po kroku?

wmboczek: X−Y⇔ a∊X i a∉Y ~(A∪B)⇔~A∩~B rozdzielność x∊A∧x∉A∧x∉B ⋁ x∊B∧x∉A∧x∉B ∨ x∊C∧x∉A∧x∉B i pierwsze to logiczne nieprawdy

SuperM4n: Przepraszam, ale nie rozumiem tego. Czy mógłbyś rozpisać od momentu w którym ja skończyłem, krok po kroku?

wmboczek: w drugim nawiasie masz mieć ⋀, dalej piszesz linijkę 4 ode mnie, a z własności ∨ można zostawić tylko trzecią część

SuperM4n: (A∪B∪C)−(A∪B) ⇔(x∊A ⋀ x∊B ⋀ x∊C)⋀(x∉ A ⋀ x∉B)⇔ (x∊A∧x∉A∧x∉B) ⋁ (x∊B∧x∉A∧x∉B) ∨ (x∊C∧x∉A∧x∉B)⇔C ? Czy to rzeczywiście tak działa? Tzn mam na myśli rozpisanie tych dwóch nawiasów, bo nigdzie nie widziałem żadnej formuły zdaniowej tego typu i ciągle mam wątpliwości.

wmboczek: w pierwszym nawiasie mają być ∨ i wtedy tak to działa tylko na końcu to nie jest to samo co C