Obliczyć, jeśli istnieje pochodną U{d^2}{dxdy}(0,0) funkcji f(x,y)= xy*U{x^2-3y kopyta:

	d2
Obliczyć, jeśli istnieje pochodną		(0,0) funkcji
	dxdy

	x2−3y2
f(x,y)= xy*		(x,y)≠(0,0)
	x2+y2

0 (x,y)=(0,0)

kopyta: ?

Gray: Z czym dokładnie masz problem? Zadanie dość typowe, ale dużo bardzo niewygodnego pisania.

kopyta:

	f(0,dy)−f(0,0)
Obliczyłem z definicji pierwszą pochodną czyli lim		czyli wychodzi zero,
	dy

czyli pochodna istnieje. Następnie, liczę to co jest w zadaniu czyli pochodną mieszaną, już normalnie tylko zastanawiam się czy mogę obliczyć i potem podstawić wartości czy też z definicji? Bo tym razem chyba nie wyjdzie zero.

Gray: Masz obliczyć coś takiego:

	f'y(h,0)−f'y(0,0)
f"xy(0,0) = f'x(f'y)(0,0) = limh→0		.
	h

Obliczyłeś f'_y(0,0)=0. Oblicz jeszcze f'_y(h,0) − możesz z definicji, ale nie musi; h traktujesz jak parametr.

kopyta: Czyli podsumowując dążę, że do tego, że licząc pochodne w punkcie (0,0) dla x i y (mówię teraz o pierwszych pochodnych) to musi wyjść 0 dla x i 0 dla y (to oznacza, że istnieje), a potem pochodne drugiego stopnia?

kopyta: Bo np. jak jest taki przykład:

	x3
f(x,y) =		, dla (x,y)≠(0,0). 0 dla (x,y)=(0,0)
	x2+y2

	f(dx,0)−f(0,0)		dx3
lim dx−>0		= lim dx−>0		=1
	dx		dx3

	f(0,dy)−f(0,0)		0
lim dy−>0		= lim dy−>0		=0
	dy		dy3

Czyli jak wyszło 0 i 1 to funkcja nie jest różniczkowalna?

Gray: Nie ma takich zależności. I dlaczego mieszasz tu różniczkowalność? Miałeś obliczyć f"_xy(0,0).

kopyta: ok, tamten przykład już rozumiem, ale chciałbym wiedzieć jak zrobić to zadanie jeszcze z

	x3
funkcją		Co mi mówi, że wyszło 0 i 1? Czy to jest różniczkowalne i jeżeli jest
	x2+y2

do dlaczego?

kopyta: Np. gdyby wyszło |5x| to wtedy byłoby nie różniczkowalne, bo dla x>0 mamy 5x, a dla x<0 −5x czyli wtedy byłaby nieciągła? To tak jakby sprawdzenie czy granica dwóch zmiennych istnieje?

Gray: Matko, mieszasz niemiłosiernie. Napisz, co chcesz wiedzieć. Pochodne cząstkowe mogą być równe 0 lub 1 lub cokolwiek innego i to jest OK. I funkcja z takimi pochodnymi cząstkowymi może być różniczkowalna. Ale nie musi. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu, które liczyłeś wcześniej niewiele mają wspólnego z różniczkowalnością.

hylp: to bardzo prosiłbym o algorytm obliczania różniczkowalności do tego zadania z góry lub tego ostatniego, bo też mam problem z tymi zadaniami

Gray: Weźmy to drugie − mniej pisania. Masz zbadać różniczkowalność. Ona może się psuć jedynie w (0,0) więc na tym punkcie się skupiasz. Na początek wyznaczasz pochodne cząstkowe: f'_x(0,0) oraz f'_y(0,0); jeżeli, któraś z nich nie istnieje, funkcja (z definicji) nie jest różniczkowalna. Mając pochodne cząstkowe, liczysz granicę:

	f(h,k) − f(0,0) − f'x(0,0)h − f'k(0,0)k
lim(h,k)→(0,0)
	√h2+k2

Jeżeli ta granica wyjdzie 0, funkcja jest różniczkowalna; jeżeli ta granica nie istnieje lub nie jest zerem, funkcja nie jest różniczkowalna w (0,0).