Wykaż, że jeżeli a,b,c >0 to ab/c + bc/a + ac/b ≥a + b + c Inny: Wykaż, że jeżeli a,b,c >0 to ab/c + bc/a + ac/b ≥a + b + c

PW: Dla dowolnych x,y,z∊R (x+y−2z)² = x²+y²+4z² + 2xy − 4xz − 4yz (x+z−2y)² = x²+4y²+z² + 2xz − 4xy − 4yz (y+z−2x)² = 4x²+y²+z² + 2yz − 4xy − 4xz −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− s = 6(x²+y²+z²) − 6(xy + xz + yz) Suma s jest nieujemna, wynika stąd więc (1) x²+y²+z² ≥ xy + xz + yz. Po podstawieniu do równości (1) x = ab, y = ac, z = bc dostajemy (2) (ab)² + (ac)² + (bc)² ≥ a²bc + ab²c + abc². Przy założeniu, że abc > 0 po podzieleniu stronami nierówności (2) przez abc

	ab		ac		bc
		+		+		≥ a + b + c,
	c		b		a

cnw. Jak widać z dowodu, założenie a, b, c > 0 można zastąpić słabszym abc > 0.

PW: Nierówność (1) można uzyskać znacznie prościej, ale skoro już tak nadziwaczyłem, to nie chciało mi się z tego rezygnować.

pigor: ... lub z nierówności między średnimi art.≥ geo.

ab		bc		ab		bc
	+		≥ 2√		*		= 2b , analogicznie
c		a		c		a

ab		ac		ab		ac
	+		≥ 2√		*		= 2a ,
c		b		c		b

bc		ac		bc		ac
	+		≥ 2√		*		= 2c ,
a		b		a		b

dodając stronami te 3 nierówności :

	ab		ac		ab		bc		ac
2(		+bca+		) ≥ 2(a+b+c} ⇔		+		+		≥ a+b+c , c.n.w, ;
	c		b		c		a		b

przy czym równość ma miejsce tylko wtedy, gdy a=b=c.

PW: pigor, Twoje bardziej mi się podoba, u mnie to podstawienie jest trochę "z rękawa", zazwyczaj pytają "a skąd ja niby miałbym na to wpaść"

pigor: ..., racja, ale tak to już jest , nie tylko w matmie . ..

Inny: Bardzo dziękuję